Решение задачи по физике: Кинематика, Динамика, Законы сохранения

Вот решения задач для контрольной работы. 1. Вертолет, пролетев в горизонтальном полете по прямой 30 км, повернул под углом 90° и пролетел еще 40 км. Найти путь и модуль перемещения вертолета. Решение: Путь — это общая длина траектории, которую прошел вертолет. Вертолет сначала пролетел 30 км, а затем еще 40 км. Значит, путь \(S\) равен сумме этих расстояний: \(S = 30 \text{ км} + 40 \text{ км} = 70 \text{ км}\). Перемещение — это вектор, соединяющий начальную и конечную точки движения. Так как вертолет повернул под углом 90°, его движение можно представить как два катета прямоугольного треугольника. Модуль перемещения \(|\vec{r}|\) будет равен длине гипотенузы этого треугольника. Используем теорему Пифагора: \(|\vec{r}|^2 = (30 \text{ км})^2 + (40 \text{ км})^2\) \(|\vec{r}|^2 = 900 \text{ км}^2 + 1600 \text{ км}^2\) \(|\vec{r}|^2 = 2500 \text{ км}^2\) \(|\vec{r}| = \sqrt{2500 \text{ км}^2} = 50 \text{ км}\). Ответ: Путь вертолета равен 70 км, модуль перемещения равен 50 км. 2. Автомобиль ехал 5 ч со скоростью 80 км/ч, а на следующие 200 км потратил 7 ч. Какова средняя скорость автомобиля на всем пути? Решение: Средняя скорость определяется как отношение всего пройденного пути ко всему затраченному времени. Формула для средней скорости: \[v_{\text{ср}} = \frac{S_{\text{общ}}}{t_{\text{общ}}}\] Сначала найдем путь, пройденный автомобилем на первом участке: \(S_1 = v_1 \cdot t_1\) \(S_1 = 80 \text{ км/ч} \cdot 5 \text{ ч} = 400 \text{ км}\). Путь на втором участке нам известен: \(S_2 = 200 \text{ км}\). Общий путь: \(S_{\text{общ}} = S_1 + S_2 = 400 \text{ км} + 200 \text{ км} = 600 \text{ км}\). Время на первом участке: \(t_1 = 5 \text{ ч}\). Время на втором участке: \(t_2 = 7 \text{ ч}\). Общее время: \(t_{\text{общ}} = t_1 + t_2 = 5 \text{ ч} + 7 \text{ ч} = 12 \text{ ч}\). Теперь рассчитаем среднюю скорость: \[v_{\text{ср}} = \frac{600 \text{ км}}{12 \text{ ч}} = 50 \text{ км/ч}\] Ответ: Средняя скорость автомобиля на всем пути равна 50 км/ч. 3. За какое время мяч, начавший свое падение без начальной скорости, пройдет путь 20 м? Решение: Мяч падает без начальной скорости, это означает, что его начальная скорость \(v_0 = 0\). Движение мяча под действием силы тяжести является равноускоренным. Ускорение свободного падения \(g \approx 9,8 \text{ м/с}^2\). Для простоты расчетов в школьных задачах часто используют \(g = 10 \text{ м/с}^2\). Будем использовать \(g = 10 \text{ м/с}^2\). Формула для пути при равноускоренном движении без начальной скорости: \[h = \frac{g t^2}{2}\] Нам нужно найти время \(t\). Выразим \(t\) из этой формулы: \(2h = g t^2\) \[t^2 = \frac{2h}{g}\] \[t = \sqrt{\frac{2h}{g}}\] Подставим значения: \(h = 20 \text{ м}\) \(g = 10 \text{ м/с}^2\) \[t = \sqrt{\frac{2 \cdot 20 \text{ м}}{10 \text{ м/с}^2}}\] \[t = \sqrt{\frac{40 \text{ м}}{10 \text{ м/с}^2}}\] \[t = \sqrt{4 \text{ с}^2}\] \(t = 2 \text{ с}\). Ответ: Мяч пройдет путь 20 м за 2 секунды. 4. Колесо велосипеда имеет радиус 40 см. С какой скоростью едет велосипедист, если колесо делает 120 оборотов за минуту? Решение: Скорость велосипедиста равна линейной скорости точек на ободе колеса. Радиус колеса \(R = 40 \text{ см} = 0,4 \text{ м}\). Колесо делает \(N = 120\) оборотов за \(t = 1 \text{ минуту} = 60 \text{ секунд}\). Сначала найдем частоту вращения \(f\): \[f = \frac{N}{t} = \frac{120 \text{ оборотов}}{60 \text{ с}} = 2 \text{ об/с}\] Затем найдем угловую скорость \(\omega\): \[\omega = 2 \pi f\] \[\omega = 2 \pi \cdot 2 \text{ об/с} = 4 \pi \text{ рад/с}\] Линейная скорость \(v\) связана с угловой скоростью \(\omega\) и радиусом \(R\) формулой: \[v = \omega R\] \[v = 4 \pi \text{ рад/с} \cdot 0,4 \text{ м}\] \[v = 1,6 \pi \text{ м/с}\] Если использовать приближенное значение \(\pi \approx 3,14\): \(v \approx 1,6 \cdot 3,14 \text{ м/с}\) \(v \approx 5,024 \text{ м/с}\). Ответ: Велосипедист едет со скоростью примерно 5,024 м/с (или \(1,6 \pi\) м/с). 5. Спусковую пружину игрушечного пистолета сжали на 5 см. При вылете шарик массой 20 г приобрел скорость 2 м/с. Необходимо рассчитать, какова жесткость пружины. Решение: В этой задаче используется закон сохранения энергии. Потенциальная энергия сжатой пружины переходит в кинетическую энергию шарика. Масса шарика \(m = 20 \text{ г} = 0,02 \text{ кг}\). Скорость шарика \(v = 2 \text{ м/с}\). Сжатие пружины \(x = 5 \text{ см} = 0,05 \text{ м}\). Потенциальная энергия сжатой пружины: \[E_п = \frac{k x^2}{2}\] где \(k\) — жесткость пружины. Кинетическая энергия шарика: \[E_к = \frac{m v^2}{2}\] По закону сохранения энергии: \(E_п = E_к\) \[\frac{k x^2}{2} = \frac{m v^2}{2}\] Сократим 2 с обеих сторон: \(k x^2 = m v^2\) Выразим жесткость пружины \(k\): \[k = \frac{m v^2}{x^2}\] Подставим значения: \[k = \frac{0,02 \text{ кг} \cdot (2 \text{ м/с})^2}{(0,05 \text{ м})^2}\] \[k = \frac{0,02 \text{ кг} \cdot 4 \text{ м}^2/\text{с}^2}{0,0025 \text{ м}^2}\] \[k = \frac{0,08 \text{ Дж}}{0,0025 \text{ м}^2}\] \[k = 32 \text{ Н/м}\] Ответ: Жесткость пружины равна 32 Н/м. 6. Метеорологическая ракета массой 0,4 т стартует вверх с ускорением 20 м/с\(^2\). Найти силу тяги. Решение: Масса ракеты \(m = 0,4 \text{ т} = 400 \text{ кг}\). Ускорение ракеты \(a = 20 \text{ м/с}^2\). На ракету действуют две основные силы: сила тяги двигателя, направленная вверх, и сила тяжести, направленная вниз. Сила тяжести \(F_т = m g\). Примем \(g = 10 \text{ м/с}^2\). \(F_т = 400 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 = 4000 \text{ Н}\). Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая всех сил, действующих на тело, равна произведению массы тела на его ускорение: \[F_{\text{равн}} = m a\] Так как ракета движется вверх, сила тяги \(F_{\text{тяги}}\) больше силы тяжести \(F_т\). Равнодействующая сила: \(F_{\text{равн}} = F_{\text{тяги}} - F_т\) Приравниваем выражения для равнодействующей силы: \(F_{\text{тяги}} - F_т = m a\) Выразим силу тяги: \(F_{\text{тяги}} = m a + F_т\) \(F_{\text{тяги}} = m a + m g\) \(F_{\text{тяги}} = m (a + g)\) Подставим значения: \(F_{\text{тяги}} = 400 \text{ кг} \cdot (20 \text{ м/с}^2 + 10 \text{ м/с}^2)\) \(F_{\text{тяги}} = 400 \text{ кг} \cdot 30 \text{ м/с}^2\) \(F_{\text{тяги}} = 12000 \text{ Н}\). Ответ: Сила тяги ракеты равна 12000 Н (или 12 кН).