Решение Системы Уравнений Методом Гаусса

Метод Гаусса — это универсальный способ решения систем линейных уравнений путем последовательного исключения переменных. Цель метода — привести систему к ступенчатому (треугольному) виду, из которого легко найти все неизвестные. Рассмотрим решение системы на конкретном примере, чтобы было удобно переписать в тетрадь. Дана система уравнений: \[ \begin{cases} 2x + y - z = 1 \\ x + y + z = 6 \\ 3x - 2y + z = 3 \end{cases} \] Решение: 1. Запишем расширенную матрицу системы, состоящую из коэффициентов при переменных и свободных членов: \[ \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 & | & 1 \\ 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 3 & -2 & 1 & | & 3 \end{pmatrix} \] 2. Для удобства вычислений поменяем первую и вторую строки местами, чтобы в левом верхнем углу была единица: \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 2 & 1 & -1 & | & 1 \\ 3 & -2 & 1 & | & 3 \end{pmatrix} \] 3. Обнулим элементы под первой единицей в первом столбце. Для этого из второй строки вычтем первую, умноженную на 2. А из третьей строки вычтем первую, умноженную на 3: \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 0 & -1 & -3 & | & -11 \\ 0 & -5 & -2 & | & -15 \end{pmatrix} \] 4. Теперь обнулим элемент под второй строкой во втором столбце. Для этого из третьей строки вычтем вторую, умноженную на 5: \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 0 & -1 & -3 & | & -11 \\ 0 & 0 & 13 & | & 40 \end{pmatrix} \] (Примечание: в учебных задачах числа обычно получаются целыми, здесь приведен общий принцип хода решения). 5. Обратный ход. Запишем полученную треугольную систему: \[ \begin{cases} x + y + z = 6 \\ -y - 3z = -11 \\ 13z = 40 \end{cases} \] Из последнего уравнения находим \( z \): \[ z = \frac{40}{13} \] Подставляем \( z \) во второе уравнение и находим \( y \): \[ -y - 3 \cdot \left(\frac{40}{13}\right) = -11 \] \[ y = 11 - \frac{120}{13} = \frac{143 - 120}{13} = \frac{23}{13} \] Подставляем \( y \) и \( z \) в первое уравнение и находим \( x \): \[ x + \frac{23}{13} + \frac{40}{13} = 6 \] \[ x = 6 - \frac{63}{13} = \frac{78 - 63}{13} = \frac{15}{13} \] Ответ: \( x = \frac{15}{13} \), \( y = \frac{23}{13} \), \( z = \frac{40}{13} \).