Решение линейных систем методом Крамера

Метод Крамера для решения систем линейных уравнений Метод Крамера основан на использовании определителей (детерминантов) матрицы системы. Он применяется для систем, в которых количество уравнений совпадает с количеством неизвестных, а определитель основной матрицы не равен нулю. Рассмотрим систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными: \[ \begin{cases} a_{11}x + a_{12}y = b_1 \\ a_{21}x + a_{22}y = b_2 \end{cases} \] Алгоритм решения: 1. Вычисляем главный определитель системы \( \Delta \) (дельта), состоящий из коэффициентов при переменных: \[ \Delta = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11} \cdot a_{22} - a_{12} \cdot a_{21} \] Если \( \Delta \neq 0 \), то система имеет единственное решение. 2. Вычисляем вспомогательные определители \( \Delta_x \) и \( \Delta_y \). Они получаются из главного определителя путем замены соответствующего столбца на столбец свободных членов \( b_1, b_2 \): \[ \Delta_x = \begin{vmatrix} b_1 & a_{12} \\ b_2 & a_{22} \end{vmatrix} = b_1 \cdot a_{22} - a_{12} \cdot b_2 \] \[ \Delta_y = \begin{vmatrix} a_{11} & b_1 \\ a_{21} & b_2 \end{vmatrix} = a_{11} \cdot b_2 - b_1 \cdot a_{21} \] 3. Находим значения переменных по формулам Крамера: \[ x = \frac{\Delta_x}{\Delta} \] \[ y = \frac{\Delta_y}{\Delta} \] Пример решения: \[ \begin{cases} 2x + 3y = 8 \\ 3x - y = 1 \end{cases} \] Находим определители: \[ \Delta = \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} = 2 \cdot (-1) - 3 \cdot 3 = -2 - 9 = -11 \] \[ \Delta_x = \begin{vmatrix} 8 & 3 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = 8 \cdot (-1) - 3 \cdot 1 = -8 - 3 = -11 \] \[ \Delta_y = \begin{vmatrix} 2 & 8 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot 1 - 8 \cdot 3 = 2 - 24 = -22 \] Вычисляем корни: \[ x = \frac{-11}{-11} = 1 \] \[ y = \frac{-22}{-11} = 2 \] Ответ: (1; 2).