Графическое Доказательство A x C ⊆ B x D с использованием Декартовых Координат

Для графического пояснения данного утверждения в тетради лучше всего использовать декартову систему координат, где множества представляются в виде интервалов на осях, а их прямое произведение — в виде прямоугольников на плоскости. Утверждение: \( A \times C \subseteq B \times D \) тогда и только тогда, когда \( A \subseteq B \) и \( C \subseteq D \) (при условии, что множества не пусты). Ниже приведено описание того, как это изобразить в тетради: 1. Нарисуйте оси координат \( Ox \) и \( Oy \). 2. На оси \( Ox \) отметьте отрезок (множество) \( A \), а внутри него или шире него — отрезок \( B \). Чтобы выполнялось \( A \subseteq B \), отрезок \( A \) должен полностью лежать внутри отрезка \( B \). 3. На оси \( Oy \) отметьте отрезок \( C \), а также отрезок \( D \) так, чтобы \( C \) полностью лежал внутри \( D \) (это значит \( C \subseteq D \)). 4. Прямое произведение \( A \times C \) — это прямоугольник, образованный пересечением вертикальной полосы над \( A \) и горизонтальной полосы напротив \( C \). 5. Прямое произведение \( B \times D \) — это прямоугольник, образованный пересечением полос над \( B \) и напротив \( D \). Графический вывод: Так как \( A \) является частью \( B \), а \( C \) является частью \( D \), то маленький прямоугольник \( A \times C \) неизбежно окажется внутри большого прямоугольника \( B \times D \). Математическая запись для тетради: Пусть \( A = [a_1, a_2] \), \( B = [b_1, b_2] \), \( C = [c_1, c_2] \), \( D = [d_1, d_2] \). Условие включения: \[ A \subseteq B \implies [a_1, a_2] \subseteq [b_1, b_2] \] \[ C \subseteq D \implies [c_1, c_2] \subseteq [d_1, d_2] \] Тогда для любой точки \( (x, y) \): \[ (x, y) \in A \times C \iff x \in A \text{ и } y \in C \] Так как \( A \subseteq B \) и \( C \subseteq D \), то: \[ x \in B \text{ и } y \in D \implies (x, y) \in B \times D \] Следовательно: \[ A \times C \subseteq B \times D \] На чертеже это выглядит как "вложенные рамки": внутренняя рамка (произведение меньших множеств) полностью покрывается внешней рамкой (произведением больших множеств). Это наглядно подтверждает доказательство, приведенное в вашем тексте.