Графическое решение задачи о вложенности множеств

Для того чтобы пояснить текст доказательства графически с использованием точек, мы изобразим, как произвольная точка одного множества оказывается в другом множестве благодаря условиям вложенности. В тетради это удобно представить следующим образом: 1. Нарисуйте декартову систему координат. 2. Обозначьте на оси \( Ox \) область, соответствующую множеству \( A \), и более широкую область \( B \), так чтобы \( A \subset B \). 3. Обозначьте на оси \( Oy \) область \( C \) и более широкую область \( D \), так чтобы \( C \subset D \). 4. Изобразите прямоугольник \( A \times C \) (пунктиром или легкой штриховкой) и прямоугольник \( B \times D \) (сплошной линией). Пояснение к первой части доказательства \( (\Rightarrow) \): Возьмем произвольную точку \( P \) с координатами \( (x, y) \). Если \( P \in A \times C \), это значит, что её проекция на ось \( Ox \) (точка \( x \)) попадает в отрезок \( A \), а проекция на ось \( Oy \) (точка \( y \)) попадает в отрезок \( C \). Так как на чертеже видно, что \( A \) находится внутри \( B \), то точка \( x \) автоматически оказывается и в \( B \). Аналогично, так как \( C \) внутри \( D \), точка \( y \) оказывается в \( D \). Следовательно, точка \( P(x, y) \) обязана лежать внутри большого прямоугольника \( B \times D \). Пояснение ко второй части доказательства \( (\Leftarrow) \): Здесь мы доказываем от обратного. Чтобы показать, что \( A \subseteq B \), мы берем любую точку \( x \in A \). Чтобы "подняться" в плоскость произведений, нам нужна пара. Мы берем любую существующую точку \( y \in C \) (так как \( C \neq \emptyset \)). Полученная точка \( (x, y) \) по условию принадлежит \( A \times C \). Так как по условию всё облако точек \( A \times C \) лежит внутри \( B \times D \), то и наша выбранная точка \( (x, y) \) попадает в \( B \times D \). Это означает, что её первая координата \( x \) обязана принадлежать множеству \( B \). Значит, любая точка из \( A \) является точкой из \( B \), то есть \( A \subseteq B \). Запись формулами для тетради: Пусть точка \( P \) имеет координаты \( (x, y) \). Графическая интерпретация шагов доказательства: \[ (x, y) \in A \times C \implies \begin{cases} x \in A \\ y \in C \end{cases} \] Учитывая геометрическое вложение \( A \subseteq B \) и \( C \subseteq D \): \[ \begin{cases} x \in A \subseteq B \\ y \in C \subseteq D \end{cases} \implies \begin{cases} x \in B \\ y \in D \end{cases} \implies (x, y) \in B \times D \] Этот чертеж с "точкой-представителем" внутри вложенных прямоугольников является классическим визуальным доказательством данной теоремы в курсе теории множеств.