Хорошо, решаем задачу для варианта 7.
Даны координаты вершин пирамиды \(ABCD\) (Таблица 2, вариант 7):
Точка \(A = (-6, -4, 2)\)
Точка \(B = (-1.5, 4, -2)\)
Точка \(C = (3, -4, -2)\)
Точка \(D = (0, 2, 13)\)
1. Сделайте чертеж.
(Для школьника: чертеж пирамиды в тетради выполняется на миллиметровой бумаге или в обычной тетради с использованием координатных осей. Отметьте точки \(A, B, C, D\) в трехмерном пространстве и соедините их, чтобы получить пирамиду. Поскольку я не могу нарисовать чертеж, я опишу, как его сделать.)
Нарисуйте три взаимно перпендикулярные оси: \(x\), \(y\), \(z\).
Отметьте на осях соответствующие координаты для каждой точки:
\(A = (-6, -4, 2)\)
\(B = (-1.5, 4, -2)\)
\(C = (3, -4, -2)\)
\(D = (0, 2, 13)\)
Соедините точки \(A, B, C\) для получения основания пирамиды (треугольник).
Соедините точку \(D\) с каждой из вершин \(A, B, C\), чтобы получить боковые ребра пирамиды.
2. Запишите в координатной форме векторы: \(\vec{AB}\), \(\vec{AC}\) и \(\vec{BC}\).
Для нахождения координат вектора, нужно вычесть координаты начальной точки из координат конечной точки.
Пусть \(A = (x_A, y_A, z_A)\) и \(B = (x_B, y_B, z_B)\). Тогда \(\vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A)\).
Вектор \(\vec{AB}\):
\(x_{AB} = x_B - x_A = -1.5 - (-6) = -1.5 + 6 = 4.5\)
\(y_{AB} = y_B - y_A = 4 - (-4) = 4 + 4 = 8\)
\(z_{AB} = z_B - z_A = -2 - 2 = -4\)
Итак, \(\vec{AB} = (4.5, 8, -4)\)
Вектор \(\vec{AC}\):
\(x_{AC} = x_C - x_A = 3 - (-6) = 3 + 6 = 9\)
\(y_{AC} = y_C - y_A = -4 - (-4) = -4 + 4 = 0\)
\(z_{AC} = z_C - z_A = -2 - 2 = -4\)
Итак, \(\vec{AC} = (9, 0, -4)\)
Вектор \(\vec{BC}\):
\(x_{BC} = x_C - x_B = 3 - (-1.5) = 3 + 1.5 = 4.5\)
\(y_{BC} = y_C - y_B = -4 - 4 = -8\)
\(z_{BC} = z_C - z_B = -2 - (-2) = -2 + 2 = 0\)
Итак, \(\vec{BC} = (4.5, -8, 0)\)
3. Определите длины и направляющие косинусы векторов: \(\vec{AB}\), \(\vec{AC}\) и \(\vec{BC}\).
Длина вектора \(\vec{a} = (x, y, z)\) вычисляется по формуле: \(|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\).
Направляющие косинусы вектора \(\vec{a} = (x, y, z)\) вычисляются по формулам:
\(\cos \alpha = \frac{x}{|\vec{a}|}\)
\(\cos \beta = \frac{y}{|\vec{a}|}\)
\(\cos \gamma = \frac{z}{|\vec{a}|}\)
Для вектора \(\vec{AB} = (4.5, 8, -4)\):
Длина \(\vec{AB}\):
\(|\vec{AB}| = \sqrt{(4.5)^2 + 8^2 + (-4)^2} = \sqrt{20.25 + 64 + 16} = \sqrt{100.25}\)
\(|\vec{AB}| \approx 10.0125\)
Направляющие косинусы \(\vec{AB}\):
\(\cos \alpha_{AB} = \frac{4.5}{\sqrt{100.25}} \approx \frac{4.5}{10.0125} \approx 0.4494\)
\(\cos \beta_{AB} = \frac{8}{\sqrt{100.25}} \approx \frac{8}{10.0125} \approx 0.7990\)
\(\cos \gamma_{AB} = \frac{-4}{\sqrt{100.25}} \approx \frac{-4}{10.0125} \approx -0.3995\)
Для вектора \(\vec{AC} = (9, 0, -4)\):
Длина \(\vec{AC}\):
\(|\vec{AC}| = \sqrt{9^2 + 0^2 + (-4)^2} = \sqrt{81 + 0 + 16} = \sqrt{97}\)
\(|\vec{AC}| \approx 9.8488\)
Направляющие косинусы \(\vec{AC}\):
\(\cos \alpha_{AC} = \frac{9}{\sqrt{97}} \approx \frac{9}{9.8488} \approx 0.9138\)
\(\cos \beta_{AC} = \frac{0}{\sqrt{97}} = 0\)
\(\cos \gamma_{AC} = \frac{-4}{\sqrt{97}} \approx \frac{-4}{9.8488} \approx -0.4061\)
Для вектора \(\vec{BC} = (4.5, -8, 0)\):
Длина \(\vec{BC}\):
\(|\vec{BC}| = \sqrt{(4.5)^2 + (-8)^2 + 0^2} = \sqrt{20.25 + 64 + 0} = \sqrt{84.25}\)
\(|\vec{BC}| \approx 9.1788\)
Направляющие косинусы \(\vec{BC}\):
\(\cos \alpha_{BC} = \frac{4.5}{\sqrt{84.25}} \approx \frac{4.5}{9.1788} \approx 0.4903\)
\(\cos \beta_{BC} = \frac{-8}{\sqrt{84.25}} \approx \frac{-8}{9.1788} \approx -0.8716\)
\(\cos \gamma_{BC} = \frac{0}{\sqrt{84.25}} = 0\)
4. Найдите углы треугольника \(ABC\) (по формуле скалярного произведения векторов).
Скалярное произведение векторов \(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \phi\), где \(\phi\) - угол между векторами.
Отсюда \(\cos \phi = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}\).
Если \(\vec{a} = (x_1, y_1, z_1)\) и \(\vec{b} = (x_2, y_2, z_2)\), то \(\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2\).
Угол при вершине \(A\) (угол между \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\)):
\(\vec{AB} = (4.5, 8, -4)\)
\(\vec{AC} = (9, 0, -4)\)
\(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (4.5)(9) + (8)(0) + (-4)(-4) = 40.5 + 0 + 16 = 56.5\)
\(|\vec{AB}| = \sqrt{100.25}\)
\(|\vec{AC}| = \sqrt{97}\)
\(\cos A = \frac{56.5}{\sqrt{100.25} \cdot \sqrt{97}} = \frac{56.5}{10.0125 \cdot 9.8488} = \frac{56.5}{98.511} \approx 0.5735\)
\(A = \arccos(0.5735) \approx 55.68^\circ\)
Угол при вершине \(B\) (угол между \(\vec{BA}\) и \(\vec{BC}\)):
\(\vec{BA} = -\vec{AB} = (-4.5, -8, 4)\)
\(\vec{BC} = (4.5, -8, 0)\)
\(\vec{BA} \cdot \vec{BC} = (-4.5)(4.5) + (-8)(-8) + (4)(0) = -20.25 + 64 + 0 = 43.75\)
\(|\vec{BA}| = |\vec{AB}| = \sqrt{100.25}\)
\(|\vec{BC}| = \sqrt{84.25}\)
\(\cos B = \frac{43.75}{\sqrt{100.25} \cdot \sqrt{84.25}} = \frac{43.75}{10.0125 \cdot 9.1788} = \frac{43.75}{91.899} \approx 0.4760\)
\(B = \arccos(0.4760) \approx 61.58^\circ\)
Угол при вершине \(C\) (угол между \(\vec{CA}\) и \(\vec{CB}\)):
\(\vec{CA} = -\vec{AC} = (-9, 0, 4)\)
\(\vec{CB} = -\vec{BC} = (-4.5, 8, 0)\)
\(\vec{CA} \cdot \vec{CB} = (-9)(-4.5) + (0)(8) + (4)(0) = 40.5 + 0 + 0 = 40.5\)
\(|\vec{CA}| = |\vec{AC}| = \sqrt{97}\)
\(|\vec{CB}| = |\vec{BC}| = \sqrt{84.25}\)
\(\cos C = \frac{40.5}{\sqrt{97} \cdot \sqrt{84.25}} = \frac{40.5}{9.8488 \cdot 9.1788} = \frac{40.5}{90.409} \approx 0.4479\)
\(C = \arccos(0.4479) \approx 63.39^\circ\)
Проверка суммы углов: \(55.68^\circ + 61.58^\circ + 63.39^\circ = 180.65^\circ\). Небольшая погрешность из-за округлений.
5. Вычислите площадь грани \(ABC\): а) используя формулу векторного произведения векторов в координатной форме; б) по формуле Герона.
а) Площадь грани \(ABC\) по формуле векторного произведения:
Площадь треугольника, построенного на векторах \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), равна половине модуля их векторного произведения: \(S = \frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{b}|\).
Используем векторы \(\vec{AB} = (4.5, 8, -4)\) и \(\vec{AC} = (9, 0, -4)\).
Векторное произведение \(\vec{AB} \times \vec{AC}\):
\[
\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 4.5 & 8 & -4 \\ 9 & 0 & -4 \end{vmatrix}
\]
\(= \vec{i} \cdot (8 \cdot (-4) - (-4) \cdot 0) - \vec{j} \cdot (4.5 \cdot (-4) - (-4) \cdot 9) + \vec{k} \cdot (4.5 \cdot 0 - 8 \cdot 9)\)
\(= \vec{i} \cdot (-32 - 0) - \vec{j} \cdot (-18 - (-36)) + \vec{k} \cdot (0 - 72)\)
\(= -32\vec{i} - \vec{j} \cdot (-18 + 36) - 72\vec{k}\)
\(= -32\vec{i} - 18\vec{j} - 72\vec{k}\)
Итак, \(\vec{AB} \times \vec{AC} = (-32, -18, -72)\)
Модуль векторного произведения:
\(|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{(-32)^2 + (-18)^2 + (-72)^2} = \sqrt{1024 + 324 + 5184} = \sqrt{6532}\)
\(|\vec{AB} \times \vec{AC}| \approx 80.8208\)
Площадь грани \(ABC\):
\(S_{ABC} = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \frac{1}{2} \sqrt{6532} \approx \frac{1}{2} \cdot 80.8208 \approx 40.4104\) квадратных единиц.
б) Площадь грани \(ABC\) по формуле Герона:
Формула Герона: \(S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\), где \(p\) - полупериметр, \(a, b, c\) - длины сторон треугольника.
Длины сторон:
\(a = |\vec{BC}| = \sqrt{84.25} \approx 9.1788\)
\(b = |\vec{AC}| = \sqrt{97} \approx 9.8488\)
\(c = |\vec{AB}| = \sqrt{100.25} \approx 10.0125\)
Полупериметр \(p\):
\(p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{9.1788 + 9.8488 + 10.0125}{2} = \frac{29.0401}{2} = 14.52005\)
Площадь \(S_{ABC}\):
\(S_{ABC} = \sqrt{14.52005 \cdot (14.52005 - 9.1788) \cdot (14.52005 - 9.8488) \cdot (14.52005 - 10.0125)}\)
\(S_{ABC} = \sqrt{14.52005 \cdot 5.34125 \cdot 4.67125 \cdot 4.50755}\)
\(S_{ABC} = \sqrt{1632.99}\) (здесь могут быть небольшие расхождения из-за округлений)
\(S_{ABC} \approx 40.409\) квадратных единиц.
Результаты по обоим методам очень близки, что подтверждает правильность вычислений.
6. Вычислите объем пирамиды \(ABCD\): а) по формуле смешанного произведения векторов в координатной форме; б) по формуле \(V = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot h\).
а) Объем пирамиды \(ABCD\) по формуле смешанного произведения:
Объем пирамиды, построенной на векторах \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\), равен \(\frac{1}{6}\) модуля их смешанного произведения: \(V = \frac{1}{6} |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|\).
Используем векторы, исходящие из одной вершины, например, из \(A\): \(\vec{AB}\), \(\vec{AC}\), \(\vec{AD}\).
\(\vec{AB} = (4.5, 8, -4)\)
\(\vec{AC} = (9, 0, -4)\
