Решение логической задачи таблицами истинности

Практическая работа: Определение истинности формул Для решения данных задач составим таблицы истинности. Напомним, что 1 — это истина, 0 — это ложь. Задание 1. Определение истинности выражения \( (A \lor \bar{B}) \to B \land (\bar{A} \lor B) \) Примечание: В логике приоритет операций следующий: инверсия, конъюнкция (\( \land \)), дизъюнкция (\( \lor \)), импликация (\( \to \)). \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline A & B & \bar{A} & \bar{B} & A \lor \bar{B} & (A \lor \bar{B}) \to B & \bar{A} \lor B & Результ. \\ \hline 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline \end{array} \] Вывод: Формула выполнима (принимает значения и 0, и 1). Задание 2. Проверка тождества \( \overline{A \land B} \equiv (\bar{A} \lor B) \) \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline A & B & A \land B & \overline{A \land B} & \bar{A} & \bar{A} \lor B & Сравнение \\ \hline 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & Истина \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & Истина \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & Ложь \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & Ложь \\ \hline \end{array} \] Вывод: Данное тождество ложно, так как результаты в последних столбцах не совпадают во всех строках. Задание 3. Проверка выражения \( \overline{(A \to B) \equiv (\bar{B} \to \bar{A})} \) Сначала проверим внутреннее равенство (закон контрапозиции): \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline A & B & A \to B & \bar{B} & \bar{A} & \bar{B} \to \bar{A} & (A \to B) \equiv (\bar{B} \to \bar{A}) \\ \hline 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ \hline \end{array} \] Так как выражение под чертой всегда истинно (тавтология), то его отрицание (вся формула) будет всегда ложно. Вывод: Формула является тождественно ложной (противоречием). Задание 4. Определение истинности \( (A \lor B) \to \bar{C} \) Здесь 3 переменные, поэтому будет \( 2^3 = 8 \) строк. \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline A & B & C & A \lor B & \bar{C} & (A \lor B) \to \bar{C} \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ \hline \end{array} \] Вывод: Формула выполнима. Задание 5. Проверка выражения \( \overline{(A \lor B) \to \overline{(B \lor C)}} \) \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline A & B & C & A \lor B & B \lor C & \overline{B \lor C} & (A \lor B) \to \overline{B \lor C} & Итог (отриц.) \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ \hline \end{array} \] Вывод: Формула выполнима.