Решение задачи про яблоки и груши у Жени и Сережи

Вот решение задачи: Задача 3. У Жени и Сережи всего 14 яблок и 17 груш. Женя: «У меня фруктов меньше, чем у Сережи». Сережа: «У меня яблок больше, чем у Жени». Женя: «У меня груш больше, чем яблок». Сережа: «У меня больше 9 груш». Один из них оба раза соврал, другой оба раза сказал правду. Сколько яблок и груш у Жени? Решение: Пусть \(Я_Ж\) - количество яблок у Жени, \(Г_Ж\) - количество груш у Жени. Пусть \(Я_С\) - количество яблок у Сережи, \(Г_С\) - количество груш у Сережи. Известно, что: 1. Всего яблок: \(Я_Ж + Я_С = 14\) 2. Всего груш: \(Г_Ж + Г_С = 17\) Высказывания: 1. Женя: «У меня фруктов меньше, чем у Сережи». (\(Я_Ж + Г_Ж < Я_С + Г_С\)) 2. Сережа: «У меня яблок больше, чем у Жени». (\(Я_С > Я_Ж\)) 3. Женя: «У меня груш больше, чем яблок». (\(Г_Ж > Я_Ж\)) 4. Сережа: «У меня больше 9 груш». (\(Г_С > 9\)) Один из них оба раза соврал, другой оба раза сказал правду. Предположим, что Женя говорит правду. Тогда оба её высказывания верны: 1. \(Я_Ж + Г_Ж < Я_С + Г_С\) 3. \(Г_Ж > Я_Ж\) Если Женя говорит правду, то Сережа лжет. Тогда оба его высказывания ложны: 2. \(Я_С \le Я_Ж\) (Сережа лжет, что у него яблок больше, чем у Жени) 4. \(Г_С \le 9\) (Сережа лжет, что у него больше 9 груш) Рассмотрим случай, когда Женя говорит правду, а Сережа лжет. Из \(Я_С \le Я_Ж\) и \(Я_Ж + Я_С = 14\) следует, что \(2Я_С \le 14\), то есть \(Я_С \le 7\). Также \(2Я_Ж \ge 14\), то есть \(Я_Ж \ge 7\). Из \(Г_С \le 9\) и \(Г_Ж + Г_С = 17\) следует, что \(Г_Ж \ge 17 - 9 = 8\). Теперь проверим первое высказывание Жени: \(Я_Ж + Г_Ж < Я_С + Г_С\). Мы знаем, что \(Я_Ж \ge 7\) и \(Г_Ж \ge 8\). Значит, \(Я_Ж + Г_Ж \ge 7 + 8 = 15\). Мы знаем, что \(Я_С \le 7\) и \(Г_С \le 9\). Значит, \(Я_С + Г_С \le 7 + 9 = 16\). Если \(Я_Ж + Г_Ж \ge 15\) и \(Я_С + Г_С \le 16\), то условие \(Я_Ж + Г_Ж < Я_С + Г_С\) может быть выполнено, например, если \(Я_Ж + Г_Ж = 15\) и \(Я_С + Г_С = 16\). Рассмотрим второе высказывание Жени: \(Г_Ж > Я_Ж\). Если \(Я_Ж = 7\), то \(Г_Ж > 7\). Это согласуется с \(Г_Ж \ge 8\). Теперь рассмотрим случай, когда Сережа говорит правду. Тогда оба его высказывания верны: 2. \(Я_С > Я_Ж\) 4. \(Г_С > 9\) Если Сережа говорит правду, то Женя лжет. Тогда оба её высказывания ложны: 1. \(Я_Ж + Г_Ж \ge Я_С + Г_С\) (Женя лжет, что у неё фруктов меньше, чем у Сережи) 3. \(Г_Ж \le Я_Ж\) (Женя лжет, что у неё груш больше, чем яблок) Рассмотрим случай, когда Сережа говорит правду, а Женя лжет. Из \(Г_С > 9\) и \(Г_Ж + Г_С = 17\) следует, что \(Г_Ж < 17 - 9 = 8\). То есть \(Г_Ж \le 7\). Из \(Я_С > Я_Ж\) и \(Я_Ж + Я_С = 14\) следует, что \(2Я_Ж < 14\), то есть \(Я_Ж < 7\). Значит \(Я_Ж \le 6\). Также \(2Я_С > 14\), то есть \(Я_С > 7\). Значит \(Я_С \ge 8\). Теперь проверим третье высказывание Жени (которое должно быть ложным): \(Г_Ж \le Я_Ж\). Мы знаем, что \(Г_Ж \le 7\) и \(Я_Ж \le 6\). Если \(Г_Ж \le Я_Ж\), то это условие может быть выполнено. Например, если \(Г_Ж = 6\) и \(Я_Ж = 6\). Теперь проверим первое высказывание Жени (которое должно быть ложным): \(Я_Ж + Г_Ж \ge Я_С + Г_С\). Мы знаем, что \(Я_Ж \le 6\) и \(Г_Ж \le 7\). Значит, \(Я_Ж + Г_Ж \le 6 + 7 = 13\). Мы знаем, что \(Я_С \ge 8\) и \(Г_С > 9\). Значит, \(Я_С + Г_С \ge 8 + 10 = 18\). Тогда \(Я_Ж + Г_Ж \le 13\) и \(Я_С + Г_С \ge 18\). В этом случае \(Я_Ж + Г_Ж < Я_С + Г_С\). Но Женя лжет, поэтому её высказывание \(Я_Ж + Г_Ж < Я_С + Г_С\) должно быть ложным, то есть \(Я_Ж + Г_Ж \ge Я_С + Г_С\). Это противоречие! \(13 \ge 18\) - это неверно. Значит, предположение, что Сережа говорит правду, а Женя лжет, неверно. Следовательно, Женя говорит правду, а Сережа лжет. Из этого мы имеем: 1. \(Я_Ж + Г_Ж < Я_С + Г_С\) (правда) 2. \(Я_С \le Я_Ж\) (ложь Сережи) 3. \(Г_Ж > Я_Ж\) (правда) 4. \(Г_С \le 9\) (ложь Сережи) Из \(Я_С \le Я_Ж\) и \(Я_Ж + Я_С = 14\): Если \(Я_С = Я_Ж\), то \(2Я_Ж = 14\), \(Я_Ж = 7\), \(Я_С = 7\). Если \(Я_С < Я_Ж\), то \(Я_Ж > 7\), \(Я_С < 7\). Из \(Г_С \le 9\) и \(Г_Ж + Г_С = 17\): Если \(Г_С = 9\), то \(Г_Ж = 8\). Если \(Г_С < 9\), то \(Г_Ж > 8\). Теперь используем \(Г_Ж > Я_Ж\). Если \(Я_Ж = 7\), то \(Г_Ж > 7\). Это согласуется с \(Г_Ж \ge 8\). Если \(Я_Ж > 7\), то \(Г_Ж > Я_Ж\). Теперь используем \(Я_Ж + Г_Ж < Я_С + Г_С\). Мы знаем, что \(Я_Ж + Г_Ж + Я_С + Г_С = 14 + 17 = 31\). Если \(Я_Ж + Г_Ж < Я_С + Г_С\), то \(Я_Ж + Г_Ж < 31 / 2\), то есть \(Я_Ж + Г_Ж < 15.5\). Значит, \(Я_Ж + Г_Ж \le 15\). Рассмотрим возможные значения: Если \(Я_Ж = 7\), то \(Я_С = 7\). Тогда \(Г_Ж > 7\). И \(Я_Ж + Г_Ж \le 15\), то есть \(7 + Г_Ж \le 15\), откуда \(Г_Ж \le 8\). Совмещая \(Г_Ж > 7\) и \(Г_Ж \le 8\), получаем \(Г_Ж = 8\). Если \(Г_Ж = 8\), то \(Г_С = 17 - 8 = 9\). Проверим все условия: 1. Женя: \(Я_Ж + Г_Ж = 7 + 8 = 15\). Сережа: \(Я_С + Г_С = 7 + 9 = 16\). \(15 < 16\). Женя говорит правду. 2. Сережа: \(Я_С = 7\), \(Я_Ж = 7\). \(Я_С > Я_Ж\) - ложь. Сережа лжет. 3. Женя: \(Г_Ж = 8\), \(Я_Ж = 7\). \(8 > 7\). Женя говорит правду. 4. Сережа: \(Г_С = 9\). \(Г_С > 9\) - ложь. Сережа лжет. Все условия выполнены. Женя говорит правду (1 и 3), Сережа лжет (2 и 4). Значит, у Жени 7 яблок и 8 груш. Ответ: У Жени 7 яблок и 8 груш.