Нахождение радиуса сходимости степенного ряда: формулы и примеры

Хорошо, если можно выбрать несколько вариантов, то правильными будут следующие формулы для нахождения радиуса сходимости степенного ряда \(c_0 + c_1(x-a) + c_2(x-a)^2 + \dots + c_n(x-a)^n + \dots\): 1. Первый вариант: \[\lim_{n \to \infty} \left| \frac{c_n}{c_{n+1}} \right|\] Это формула для радиуса сходимости, основанная на признаке Даламбера. Она применяется, когда существует предел отношения модулей коэффициентов. 2. Второй вариант: \[\frac{1}{\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|c_n|}}\] Это формула для радиуса сходимости, основанная на признаке Коши (формула Коши-Адамара). Она является более общей и всегда применима, даже если предел отношения \(\left| \frac{c_n}{c_{n+1}} \right|\) не существует (в этом случае используется верхний предел \(\limsup\)). Таким образом, оба этих варианта являются корректными формулами для нахождения радиуса сходимости степенного ряда. Третий и четвертый варианты: 3. \[\lim_{n \to \infty} \left| \frac{c_{n+1}}{c_n} \right|\] Эта формула дает величину \(\frac{1}{R}\), то есть обратную радиусу сходимости. 4. \[\frac{1}{\lim_{n \to \infty} \left| \frac{c_{n+1}}{c_n} \right|}\] Эта формула также является корректной для радиуса сходимости, так как \(\frac{1}{\lim_{n \to \infty} \left| \frac{c_{n+1}}{c_n} \right|} = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{c_n}{c_{n+1}} \right|\). Она по сути эквивалентна первому варианту. Итак, если можно выбрать несколько вариантов, то правильными будут: * **Первый вариант:** \(\lim_{n \to \infty} \left| \frac{c_n}{c_{n+1}} \right|\) * **Второй вариант:** \(\frac{1}{\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|c_n|}}\) * **Четвертый вариант:** \(\frac{1}{\lim_{n \to \infty} \left| \frac{c_{n+1}}{c_n} \right|}\) (поскольку он эквивалентен первому) Обычно, когда говорят о "формуле радиуса сходимости", имеют в виду либо формулу Даламбера, либо формулу Коши-Адамара. Четвертый вариант является просто другой записью формулы Даламбера. Для школьника, чтобы было удобно переписать в тетрадь, можно записать так: Радиус сходимости степенного ряда \(c_0 + c_1(x-a) + c_2(x-a)^2 + \dots + c_n(x-a)^n + \dots\) можно найти по следующим формулам: 1. По формуле, основанной на признаке Даламбера: \[R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{c_n}{c_{n+1}} \right|\] 2. По формуле, основанной на признаке Коши (формула Коши-Адамара): \[R = \frac{1}{\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|c_n|}}\] 3. Также можно использовать эквивалентную формулу, которая является перевернутой версией предела отношения коэффициентов: \[R = \frac{1}{\lim_{n \to \infty} \left| \frac{c_{n+1}}{c_n} \right|}\] Все три эти формулы (первая, вторая и четвертая из предложенных) являются корректными для нахождения радиуса сходимости.