Решение линейного дифференциального уравнения y' - y/x = x

Задание 3. Найти решение линейного дифференциального уравнения 1-го порядка. Уравнение: \(y' - \frac{y}{x} = x\) Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка вида \(y' + P(x)y = Q(x)\), где \(P(x) = -\frac{1}{x}\) и \(Q(x) = x\). Решать будем методом интегрирующего множителя. Шаг 1: Находим интегрирующий множитель \(\mu(x)\). Формула для интегрирующего множителя: \(\mu(x) = e^{\int P(x) dx}\). В нашем случае \(P(x) = -\frac{1}{x}\). \[\int P(x) dx = \int -\frac{1}{x} dx = -\ln|x|\] Для простоты возьмем \(x > 0\), тогда \(\int P(x) dx = -\ln x\). Теперь найдем \(\mu(x)\): \[\mu(x) = e^{-\ln x} = e^{\ln(x^{-1})} = x^{-1} = \frac{1}{x}\] Шаг 2: Умножаем обе части исходного уравнения на интегрирующий множитель \(\mu(x)\). Исходное уравнение: \(y' - \frac{y}{x} = x\) Умножаем на \(\frac{1}{x}\): \[\frac{1}{x} y' - \frac{1}{x^2} y = \frac{1}{x} \cdot x\] \[\frac{1}{x} y' - \frac{y}{x^2} = 1\] Шаг 3: Левая часть уравнения теперь является производной произведения \((y \cdot \mu(x))'\). Проверим: \[\left(y \cdot \frac{1}{x}\right)' = y' \cdot \frac{1}{x} + y \cdot \left(\frac{1}{x}\right)' = \frac{y'}{x} + y \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) = \frac{y'}{x} - \frac{y}{x^2}\] Это совпадает с левой частью уравнения после умножения на интегрирующий множитель. Значит, наше уравнение можно записать как: \[\left(\frac{y}{x}\right)' = 1\] Шаг 4: Интегрируем обе части уравнения по \(x\). \[\int \left(\frac{y}{x}\right)' dx = \int 1 dx\] \[\frac{y}{x} = x + C\] где \(C\) - произвольная постоянная интегрирования. Шаг 5: Выражаем \(y\). \[y = x(x + C)\] \[y = x^2 + Cx\] Ответ: Решение линейного дифференциального уравнения \(y' - \frac{y}{x} = x\) есть \(y = x^2 + Cx\).