Вариант 11
Задание 1. Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными
\[yy' + xe^y = 0\]
Решение:
1. Перепишем данное дифференциальное уравнение, выразив производную \(y'\) как \(\frac{dy}{dx}\):
\[y \frac{dy}{dx} + xe^y = 0\]
2. Перенесем слагаемое \(xe^y\) в правую часть уравнения:
\[y \frac{dy}{dx} = -xe^y\]
3. Разделим переменные. Для этого умножим обе части уравнения на \(dx\) и разделим на \(e^y\):
\[\frac{y}{e^y} dy = -x dx\]
или, что то же самое:
\[ye^{-y} dy = -x dx\]
4. Проинтегрируем обе части уравнения:
\[\int ye^{-y} dy = \int -x dx\]
5. Вычислим интеграл в правой части:
\[\int -x dx = -\frac{x^2}{2} + C_1\]
6. Подробное вычисление интеграла в левой части:
Нам нужно вычислить интеграл \(\int ye^{-y} dy\).
Для этого используем метод интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям выглядит так:
\[\int u dv = uv - \int v du\]
В нашем случае, мы выбираем \(u\) и \(dv\) следующим образом:
- Пусть \(u = y\). Тогда, чтобы найти \(du\), мы дифференцируем \(u\) по \(y\): \(du = dy\).
- Пусть \(dv = e^{-y} dy\). Тогда, чтобы найти \(v\), мы интегрируем \(dv\): \(v = \int e^{-y} dy\).
Давайте отдельно вычислим \(v\):
\[v = \int e^{-y} dy\]
Для этого можно сделать замену переменной. Пусть \(t = -y\), тогда \(dt = -dy\), или \(dy = -dt\).
\[v = \int e^t (-dt) = -\int e^t dt = -e^t\]
Возвращаемся к исходной переменной \(y\), подставляя \(t = -y\):
\[v = -e^{-y}\]
Теперь у нас есть все компоненты для формулы интегрирования по частям:
- \(u = y\)
- \(dv = e^{-y} dy\)
- \(du = dy\)
- \(v = -e^{-y}\)
Подставляем эти значения в формулу \(\int u dv = uv - \int v du\):
\[\int ye^{-y} dy = y \cdot (-e^{-y}) - \int (-e^{-y}) dy\]
Упрощаем выражение:
\[= -ye^{-y} - \int (-e^{-y}) dy\]
\[= -ye^{-y} + \int e^{-y} dy\]
Теперь нам нужно вычислить оставшийся интеграл \(\int e^{-y} dy\). Мы уже делали это выше, когда находили \(v\). Результат равен \(-e^{-y}\).
Подставляем это обратно:
\[= -ye^{-y} + (-e^{-y}) + C_2\]
\[= -ye^{-y} - e^{-y} + C_2\]
Можно вынести \(-e^{-y}\) за скобки:
\[= -e^{-y}(y+1) + C_2\]
Итак, интеграл в левой части равен \(-e^{-y}(y+1) + C_2\).
7. Приравниваем результаты интегрирования обеих частей:
\[-e^{-y}(y+1) + C_2 = -\frac{x^2}{2} + C_1\]
8. Перенесем константы в одну сторону. Пусть \(C = C_1 - C_2\):
\[-e^{-y}(y+1) = -\frac{x^2}{2} + C\]
9. Для более удобного вида решения, умножим обе части уравнения на \(-1\):
\[e^{-y}(y+1) = \frac{x^2}{2} - C\]
Обозначим новую произвольную постоянную \(K = -C\). Поскольку \(C\) - произвольная постоянная, то и \(K\) - тоже произвольная постоянная.
\[e^{-y}(y+1) = \frac{x^2}{2} + K\]
Проверил все шаги, ошибок в расчетах не обнаружено. Предыдущее решение было верным, просто здесь я добавил более подробное объяснение шага интегрирования по частям.
Ответ:
Общее решение дифференциального уравнения \(yy' + xe^y = 0\) имеет вид:
\[e^{-y}(y+1) = \frac{x^2}{2} + K\]
где \(K\) - произвольная постоянная.