Задание 2. Найти общее решение однородного уравнения 1-го порядка
\[xy' = y \cos \ln \frac{y}{x}\]
Решение:
1. Преобразуем уравнение к виду \(y' = f\left(\frac{y}{x}\right)\). Для этого разделим обе части уравнения на \(x\):
\[y' = \frac{y}{x} \cos \left(\ln \left(\frac{y}{x}\right)\right)\]
Это уравнение является однородным, так как правая часть зависит только от отношения \(\frac{y}{x}\).
2. Введем замену переменной. Пусть \(z = \frac{y}{x}\). Отсюда выразим \(y\):
\[y = zx\]
3. Найдем производную \(y'\) по \(x\), используя правило производной произведения:
\[y' = (zx)' = z'x + zx' = \frac{dz}{dx}x + z \cdot 1 = \frac{dz}{dx}x + z\]
4. Подставим \(y'\) и \(\frac{y}{x}\) в преобразованное уравнение:
\[\frac{dz}{dx}x + z = z \cos (\ln z)\]
5. Перенесем \(z\) в правую часть:
\[\frac{dz}{dx}x = z \cos (\ln z) - z\]
\[\frac{dz}{dx}x = z (\cos (\ln z) - 1)\]
6. Разделим переменные. Для этого разделим обе части на \(z (\cos (\ln z) - 1)\) и на \(x\), а также умножим на \(dx\):
\[\frac{dz}{z (\cos (\ln z) - 1)} = \frac{dx}{x}\]
7. Проинтегрируем обе части уравнения:
\[\int \frac{dz}{z (\cos (\ln z) - 1)} = \int \frac{dx}{x}\]
8. Вычислим интеграл в правой части:
\[\int \frac{dx}{x} = \ln|x| + C_1\]
9. Вычислим интеграл в левой части. Для этого сделаем замену переменной:
Пусть \(t = \ln z\). Тогда \(dt = \frac{1}{z} dz\).
Интеграл примет вид:
\[\int \frac{dt}{\cos t - 1}\]
Воспользуемся тригонометрической формулой \(1 - \cos t = 2 \sin^2 \left(\frac{t}{2}\right)\). Отсюда \(\cos t - 1 = - (1 - \cos t) = -2 \sin^2 \left(\frac{t}{2}\right)\).
Подставим это в интеграл:
\[\int \frac{dt}{-2 \sin^2 \left(\frac{t}{2}\right)} = -\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sin^2 \left(\frac{t}{2}\right)} dt\]
Мы знаем, что \(\frac{1}{\sin^2 \alpha} = \csc^2 \alpha\), а \(\int \csc^2 \alpha d\alpha = -\cot \alpha\).
Для нашего интеграла \(\int \frac{1}{\sin^2 \left(\frac{t}{2}\right)} dt\), сделаем еще одну замену: \(u = \frac{t}{2}\), тогда \(du = \frac{1}{2} dt\), или \(dt = 2 du\).
\[-\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sin^2 u} (2 du) = -\frac{1}{2} \cdot 2 \int \csc^2 u du = - \int \csc^2 u du\]
\[= - (-\cot u) = \cot u\]
Возвращаемся к переменной \(t\): \(u = \frac{t}{2}\).
\[= \cot \left(\frac{t}{2}\right) + C_2\]
Теперь возвращаемся к переменной \(z\): \(t = \ln z\).
\[= \cot \left(\frac{\ln z}{2}\right) + C_2\]
10. Приравниваем результаты интегрирования обеих частей:
\[\cot \left(\frac{\ln z}{2}\right) = \ln|x| + C\]
где \(C = C_1 - C_2\) - произвольная постоянная.
11. Возвращаемся к исходным переменным \(x\) и \(y\), подставляя \(z = \frac{y}{x}\):
\[\cot \left(\frac{\ln \left(\frac{y}{x}\right)}{2}\right) = \ln|x| + C\]
Это и есть общее решение данного однородного дифференциального уравнения.
Ответ:
Общее решение однородного уравнения \(xy' = y \cos \ln \frac{y}{x}\) имеет вид:
\[\cot \left(\frac{\ln \left(\frac{y}{x}\right)}{2}\right) = \ln|x| + C\]
где \(C\) - произвольная постоянная.