Задание 3. Найти решение линейного дифференциального уравнения 1-го порядка.
\[y' - \frac{y}{x} = x\]
Решение:
Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка вида \(y' + P(x)y = Q(x)\), где \(P(x) = -\frac{1}{x}\) и \(Q(x) = x\).
Будем решать его методом вариации произвольной постоянной или с помощью интегрирующего множителя.
Метод интегрирующего множителя:
1. Найдем интегрирующий множитель \(\mu(x)\), который определяется по формуле:
\[\mu(x) = e^{\int P(x) dx}\]
В нашем случае \(P(x) = -\frac{1}{x}\).
\[\int P(x) dx = \int -\frac{1}{x} dx = -\ln|x| = \ln|x|^{-1} = \ln\left|\frac{1}{x}\right|\]
Тогда интегрирующий множитель:
\[\mu(x) = e^{\ln\left|\frac{1}{x}\right|} = \left|\frac{1}{x}\right|\]
Для простоты дальнейших вычислений, мы можем опустить модуль, предполагая, что \(x > 0\). Если \(x < 0\), то \(\mu(x) = -\frac{1}{x}\), но в итоге это приведет к тому же результату, так как константа интегрирования поглотит знак. Поэтому возьмем \(\mu(x) = \frac{1}{x}\).
2. Умножим обе части исходного дифференциального уравнения на интегрирующий множитель \(\mu(x) = \frac{1}{x}\):
\[\frac{1}{x} \left(y' - \frac{y}{x}\right) = \frac{1}{x} \cdot x\]
\[\frac{1}{x} y' - \frac{y}{x^2} = 1\]
3. Левая часть уравнения теперь является производной произведения \((y \cdot \mu(x))'\):
\[\left(y \cdot \frac{1}{x}\right)' = 1\]
Проверим: \(\left(\frac{y}{x}\right)' = \frac{y'x - y \cdot 1}{x^2} = \frac{y'}{x} - \frac{y}{x^2}\). Это совпадает с левой частью.
4. Проинтегрируем обе части уравнения по \(x\):
\[\int \left(\frac{y}{x}\right)' dx = \int 1 dx\]
\[\frac{y}{x} = x + C\]
где \(C\) - произвольная постоянная.
5. Выразим \(y\):
\[y = x(x + C)\]
\[y = x^2 + Cx\]
Это и есть общее решение данного линейного дифференциального уравнения.
Ответ:
Общее решение линейного дифференциального уравнения \(y' - \frac{y}{x} = x\) имеет вид:
\[y = x^2 + Cx\]
где \(C\) - произвольная постоянная.