Решение: Уравнение прямой, параллельной и перпендикулярной заданной

Задача №3. Составить уравнение прямой, проходящей через точку \(M(-2, -5)\) параллельно и перпендикулярно заданной прямой. Пункт а) Дана прямая \(l_1: 4x + 3y + 2 = 0\). 1. Составим уравнение прямой \(l_3\), проходящей через \(M\) параллельно \(l_1\). Так как \(l_3 \parallel l_1\), их нормальные векторы совпадают: \(\vec{n} = \{4; 3\}\). Уравнение прямой \(l_3\) имеет вид: \(4x + 3y + C = 0\). Подставим координаты точки \(M(-2, -5)\): \[4 \cdot (-2) + 3 \cdot (-5) + C = 0\] \[-8 - 15 + C = 0\] \[C = 23\] Ответ для \(l_3\): \(4x + 3y + 23 = 0\). 2. Составим уравнение прямой \(l_4\), проходящей через \(M\) перпендикулярно \(l_1\). Нормальный вектор прямой \(l_1\) (\(\vec{n} = \{4; 3\}\)) будет являться направляющим вектором для прямой \(l_4\). Каноническое уравнение прямой \(l_4\): \[\frac{x - (-2)}{4} = \frac{y - (-5)}{3} \Rightarrow \frac{x + 2}{4} = \frac{y + 5}{3}\] Перемножим крест-накрест: \[3(x + 2) = 4(y + 5)\] \[3x + 6 = 4y + 20\] Ответ для \(l_4\): \(3x - 4y - 14 = 0\). Пункт б) Дана прямая \(l_2: \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 1}{7}\). Направляющий вектор прямой \(l_2\): \(\vec{s} = \{2; 7\}\). 1. Составим уравнение прямой \(l_3\), проходящей через \(M\) параллельно \(l_2\). Так как \(l_3 \parallel l_2\), направляющий вектор у них общий: \(\vec{s} = \{2; 7\}\). Используем каноническое уравнение: \[\frac{x - (-2)}{2} = \frac{y - (-5)}{7}\] Ответ для \(l_3\): \(\frac{x + 2}{2} = \frac{y + 5}{7}\). 2. Составим уравнение прямой \(l_4\), проходящей через \(M\) перпендикулярно \(l_2\). Направляющий вектор прямой \(l_2\) (\(\vec{s} = \{2; 7\}\)) будет являться нормальным вектором для прямой \(l_4\). Используем уравнение прямой по точке и нормальному вектору \(A(x - x_0) + B(y - y_0) = 0\): \[2(x + 2) + 7(y + 5) = 0\] \[2x + 4 + 7y + 35 = 0\] Ответ для \(l_4\): \(2x + 7y + 39 = 0\).