Решение задачи по геометрии с координатами вершин треугольника

Ниже представлено решение задачи по геометрии (Вариант 1) в виде, удобном для переписывания в тетрадь. Дано: Вершины треугольника \(ABC\): \(A(-8, -3)\), \(B(4, -12)\), \(C(8, 10)\). 1) Найти длину стороны \(AB\), уравнения сторон \(AB\) и \(BC\) и их угловые коэффициенты. Длина стороны \(AB\) вычисляется по формуле расстояния между точками: \[|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \sqrt{(4 - (-8))^2 + (-12 - (-3))^2} = \sqrt{12^2 + (-9)^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15\] Уравнение прямой \(AB\): \[\frac{x - x_A}{x_B - x_A} = \frac{y - y_A}{y_B - y_A} \Rightarrow \frac{x + 8}{12} = \frac{y + 3}{-9}\] Сократим знаменатели на 3: \[\frac{x + 8}{4} = \frac{y + 3}{-3} \Rightarrow -3(x + 8) = 4(y + 3) \Rightarrow -3x - 24 = 4y + 12\] \[3x + 4y + 36 = 0\] Угловой коэффициент \(k_{AB}\): \[4y = -3x - 36 \Rightarrow y = -\frac{3}{4}x - 9 \Rightarrow k_{AB} = -\frac{3}{4}\] Уравнение прямой \(BC\): \[\frac{x - 4}{8 - 4} = \frac{y - (-12)}{10 - (-12)} \Rightarrow \frac{x - 4}{4} = \frac{y + 12}{22}\] \[22(x - 4) = 4(y + 12) \Rightarrow 11(x - 4) = 2(y + 12) \Rightarrow 11x - 44 = 2y + 24\] \[11x - 2y - 68 = 0\] Угловой коэффициент \(k_{BC}\): \[2y = 11x - 68 \Rightarrow y = \frac{11}{2}x - 34 \Rightarrow k_{BC} = 5.5\] 2) Найти уравнение высоты \(CD\) и ее длину. Высота \(CD\) перпендикулярна \(AB\), значит \(k_{CD} = -\frac{1}{k_{AB}} = \frac{4}{3}\). Уравнение \(CD\) через точку \(C(8, 10)\): \[y - 10 = \frac{4}{3}(x - 8) \Rightarrow 3y - 30 = 4x - 32 \Rightarrow 4x - 3y - 2 = 0\] Длина высоты \(CD\) — это расстояние от точки \(C(8, 10)\) до прямой \(AB\) (\(3x + 4y + 36 = 0\)): \[|CD| = \frac{|3 \cdot 8 + 4 \cdot 10 + 36|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|24 + 40 + 36|}{5} = \frac{100}{5} = 20\] 3) Найти уравнение медианы \(AE\) и координаты точки \(K\) пересечения этой медианы с высотой \(CD\). Точка \(E\) — середина \(BC\): \[x_E = \frac{4 + 8}{2} = 6, \quad y_E = \frac{-12 + 10}{2} = -1\] \(E(6, -1)\). Уравнение \(AE\): \[\frac{x + 8}{6 - (-8)} = \frac{y + 3}{-1 - (-3)} \Rightarrow \frac{x + 8}{14} = \frac{y + 3}{2} \Rightarrow x + 8 = 7(y + 3)\] \[x - 7y - 13 = 0\] Точка \(K\) (пересечение \(AE\) и \(CD\)): Система: \[\begin{cases} x - 7y = 13 \\ 4x - 3y = 2 \end{cases} \Rightarrow x = 7y + 13 \Rightarrow 4(7y + 13) - 3y = 2 \Rightarrow 28y + 52 - 3y = 2\] \[25y = -50 \Rightarrow y = -2; \quad x = 7(-2) + 13 = -1\] \(K(-1, -2)\). 4) Найти уравнение прямой \(l\), проходящей через \(K\) параллельно \(AB\). Так как \(l \parallel AB\), то \(k_l = k_{AB} = -0.75\). Проходит через \(K(-1, -2)\): \[y + 2 = -0.75(x + 1) \Rightarrow 4y + 8 = -3x - 3 \Rightarrow 3x + 4y + 11 = 0\] 5) Найти угол между прямой \(l\) и медианой \(AE\). Угловые коэффициенты: \(k_l = -\frac{3}{4}\), \(k_{AE} = \frac{1}{7}\). \[\tan \phi = \left| \frac{k_{AE} - k_l}{1 + k_{AE} \cdot k_l} \right| = \left| \frac{1/7 - (-3/4)}{1 + (1/7)(-3/4)} \right| = \left| \frac{4/28 + 21/28}{1 - 3/28} \right| = \frac{25/28}{25/28} = 1\] \[\phi = \arctan(1) = 45^\circ\] 6) Координаты точки \(M\), симметричной \(A\) относительно \(CD\). Прямая \(AM\) перпендикулярна \(CD\), значит она параллельна \(AB\). Точка \(D\) — проекция \(A\) на \(CD\). Найдем \(D\) как пересечение \(AB\) и \(CD\): \[\begin{cases} 3x + 4y + 36 = 0 \\ 4x - 3y - 2 = 0 \end{cases} \Rightarrow D(-4, -6)\] Так как \(D\) — середина \(AM\): \[x_M = 2x_D - x_A = 2(-4) - (-8) = 0\] \[y_M = 2y_D - y_A = 2(-6) - (-3) = -9\] \(M(0, -9)\).