Решение задачи: Уравнение плоскости, параллельной данной

Ниже представлено решение задач с изображений, оформленное в виде записей для школьной тетради. Задача №9. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку \(C(2; 3; -5)\) параллельно плоскости \(\beta: 3x + 2y - z + 11 = 0\). Дано: Точка \(C(2; 3; -5)\) Плоскость \(\beta: 3x + 2y - z + 11 = 0\) Решение: 1) Так как искомая плоскость \(\alpha\) параллельна плоскости \(\beta\), их векторы нормали коллинеарны. Из уравнения плоскости \(\beta\) выпишем координаты её нормального вектора: \[\vec{n}_{\beta} = \{3; 2; -1\}\] Возьмем этот же вектор в качестве нормали для плоскости \(\alpha\): \(\vec{n}_{\alpha} = \vec{n}_{\beta} = \{3; 2; -1\}\). 2) Используем уравнение плоскости, проходящей через точку \(M_0(x_0; y_0; z_0)\) с нормальным вектором \(\vec{n} = \{A; B; C\}\): \[A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0\] Подставим координаты точки \(C\) и вектора \(\vec{n}_{\alpha}\): \[3(x - 2) + 2(y - 3) - 1(z - (-5)) = 0\] \[3(x - 2) + 2(y - 3) - (z + 5) = 0\] 3) Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: \[3x - 6 + 2y - 6 - z - 5 = 0\] \[3x + 2y - z - 17 = 0\] Ответ: \(\alpha: 3x + 2y - z - 17 = 0\). --- Задача №13. Найти расстояние от точки \(A(4; -1; 3)\) до плоскости \(\beta: 3x - y + 2z + 5 = 0\). Дано: Точка \(A(4; -1; 3)\) Плоскость \(\beta: 3x - y + 2z + 5 = 0\) Решение: 1) Расстояние от точки \(M_0(x_0; y_0; z_0)\) до плоскости \(Ax + By + Cz + D = 0\) вычисляется по формуле: \[\rho(M_0; \beta) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\] 2) Из уравнения плоскости \(\beta\) имеем коэффициенты: \(A = 3, B = -1, C = 2, D = 5\). Координаты точки \(A\): \(x_0 = 4, y_0 = -1, z_0 = 3\). 3) Подставим значения в формулу: \[\rho(A; \beta) = \frac{|3 \cdot 4 + (-1) \cdot (-1) + 2 \cdot 3 + 5|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2 + 2^2}}\] \[\rho(A; \beta) = \frac{|12 + 1 + 6 + 5|}{\sqrt{9 + 1 + 4}} = \frac{24}{\sqrt{14}}\] 4) Избавимся от иррациональности в знаменателе: \[\frac{24}{\sqrt{14}} = \frac{24\sqrt{14}}{14} = \frac{12\sqrt{14}}{7}\] Ответ: \(\rho = \frac{12\sqrt{14}}{7}\).