Решение задач 4, 6, 9, 13

Ниже представлено подробное решение задач №4, №6, №9 и №13 с ваших листов, оформленное так, чтобы его было удобно переписать в школьную тетрадь. Задача №4. Записать уравнение плоскости, проходящей через точки \(A(-2; 3; 1)\), \(B(3; 2; -4)\) и \(C(-1; 2; 5)\). Решение: 1) Найдем координаты векторов \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\), лежащих в плоскости: \[\vec{AB} = \{3 - (-2); 2 - 3; -4 - 1\} = \{5; -1; -5\}\] \[\vec{AC} = \{-1 - (-2); 2 - 3; 5 - 1\} = \{1; -1; 4\}\] 2) Вектор нормали \(\vec{n}\) к плоскости найдем как векторное произведение \(\vec{AB} \times \vec{AC}\): \[\vec{n} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 5 & -1 & -5 \\ 1 & -1 & 4 \end{vmatrix} = \vec{i}(-4 - 5) - \vec{j}(20 - (-5)) + \vec{k}(-5 - (-1)) =\] \[= -9\vec{i} - 25\vec{j} - 4\vec{k} = \{-9; -25; -4\}\] 3) Составим уравнение плоскости, используя точку \(A(-2; 3; 1)\) и нормаль \(\vec{n}\): \[-9(x + 2) - 25(y - 3) - 4(z - 1) = 0\] \[-9x - 18 - 25y + 75 - 4z + 4 = 0\] \[-9x - 25y - 4z + 61 = 0 \quad | \cdot (-1)\] \[9x + 25y + 4z - 61 = 0\] (Примечание: в рукописном тексте на фото в конце допущена небольшая ошибка в свободном члене, правильный результат \(9x + 25y + 4z - 61 = 0\)). Ответ: \(9x + 25y + 4z - 61 = 0\). --- Задача №6. Записать уравнение плоскости, проходящей через точки \(A(-1; 4; 2)\) и \(B(3; -1; 1)\) параллельно вектору \(\vec{c} = \{-4; 3; 5\}\). Решение: 1) Найдем вектор \(\vec{AB}\): \[\vec{AB} = \{3 - (-1); -1 - 4; 1 - 2\} = \{4; -5; -1\}\] 2) Так как плоскость проходит через \(A\) и \(B\) и параллельна \(\vec{c}\), то векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{c}\) параллельны плоскости. Воспользуемся условием компланарности векторов \(\vec{AM}\), \(\vec{AB}\) и \(\vec{c}\), где \(M(x; y; z)\) — произвольная точка плоскости: \[\begin{vmatrix} x + 1 & y - 4 & z - 2 \\ 4 & -5 & -1 \\ -4 & 3 & 5 \end{vmatrix} = 0\] 3) Раскрываем определитель по первой строке: \[(x + 1)(-25 - (-3)) - (y - 4)(20 - 4) + (z - 2)(12 - 20) = 0\] \[-22(x + 1) - 16(y - 4) - 8(z - 2) = 0 \quad | : (-2)\] \[11(x + 1) + 8(y - 4) + 4(z - 2) = 0\] \[11x + 11 + 8y - 32 + 4z - 8 = 0\] \[11x + 8y + 4z - 29 = 0\] Ответ: \(11x + 8y + 4z - 29 = 0\). --- Задача №9. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку \(C(2; 3; -5)\) параллельно плоскости \(\beta: 3x + 2y - z + 11 = 0\). Решение: 1) У параллельных плоскостей векторы нормали совпадают. Для плоскости \(\beta\) нормаль \(\vec{n} = \{3; 2; -1\}\). 2) Уравнение искомой плоскости \(\alpha\): \[3(x - 2) + 2(y - 3) - 1(z - (-5)) = 0\] \[3x - 6 + 2y - 6 - z - 5 = 0\] \[3x + 2y - z - 17 = 0\] Ответ: \(3x + 2y - z - 17 = 0\). --- Задача №13. Найти расстояние от точки \(A(4; -1; 3)\) до плоскости \(\beta: 3x - y + 2z + 5 = 0\). Решение: 1) Используем формулу расстояния от точки до плоскости: \[\rho = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\] 2) Подставляем координаты точки \(A(4; -1; 3)\) в уравнение плоскости: \[\rho = \frac{|3 \cdot 4 - 1 \cdot (-1) + 2 \cdot 3 + 5|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2 + 2^2}} = \frac{|12 + 1 + 6 + 5|}{\sqrt{9 + 1 + 4}} = \frac{24}{\sqrt{14}}\] 3) Избавляемся от иррациональности: \[\rho = \frac{24\sqrt{14}}{14} = \frac{12\sqrt{14}}{7}\] Ответ: \(\frac{12\sqrt{14}}{7}\).