Решение задач 4, 7, 8 и 9 по математике

Ниже представлено решение задач №4, №7, №8 и №9 в виде, удобном для переписывания в школьную тетрадь. Задача №4. Дано уравнение прямой: \((a+2)x + (a^2-9)y + 3a^2 - 8a + 5 = 0\). Общий вид прямой: \(Ax + By + C = 0\). 1) Прямая параллельна оси абсцисс (\(Ox\)). Это происходит, когда коэффициент при \(x\) равен нулю (\(A=0\)), а при \(y\) не равен нулю. \[a + 2 = 0 \Rightarrow a = -2\] При \(a = -2\) уравнение примет вид: \(-5y + 33 = 0\). 2) Прямая параллельна оси ординат (\(Oy\)). Это происходит, когда коэффициент при \(y\) равен нулю (\(B=0\)), а при \(x\) не равен нулю. \[a^2 - 9 = 0 \Rightarrow a^2 = 9 \Rightarrow a = \pm 3\] При \(a = 3\): \(5x + 8 = 0\). При \(a = -3\): \(-x + 56 = 0\). 3) Прямая проходит через начало координат \(O(0;0)\). Это происходит, когда свободный член равен нулю (\(C=0\)). \[3a^2 - 8a + 5 = 0\] Решим через дискриминант: \(D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 64 - 60 = 4\). \[a_1 = \frac{8 + 2}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}; \quad a_2 = \frac{8 - 2}{6} = 1\] Ответ: 1) \(a = -2\); 2) \(a = \pm 3\); 3) \(a = 1, a = 5/3\). Задача №7. Доказать, что прямые пересекаются и найти точку пересечения. \(l_1: x + 5y - 35 = 0\) \(l_2: 3x + 2y - 27 = 0\) Проверим отношение коэффициентов: \(\frac{1}{3} \neq \frac{5}{2}\). Коэффициенты не пропорциональны, значит прямые пересекаются. Для поиска точки \(M\) решим систему: \[\begin{cases} x + 5y = 35 \\ 3x + 2y = 27 \end{cases}\] Выразим \(x\) из первого уравнения: \(x = 35 - 5y\). Подставим во второе: \[3(35 - 5y) + 2y = 27\] \[105 - 15y + 2y = 27\] \[-13y = -78 \Rightarrow y = 6\] Найдем \(x\): \(x = 35 - 5 \cdot 6 = 5\). Ответ: Точка пересечения \(M(5; 6)\). Задача №8. Найти расстояние между параллельными прямыми: \(l_1: 3x + y - 3\sqrt{10} = 0\) \(l_2: 6x + 2y + 5\sqrt{10} = 0\) Приведем \(l_2\) к виду, где коэффициенты при \(x\) и \(y\) такие же, как у \(l_1\) (разделим на 2): \(l_2: 3x + y + 2,5\sqrt{10} = 0\). Теперь используем формулу расстояния между параллельными прямыми \(d = \frac{|C_2 - C_1|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\): \[d = \frac{|2,5\sqrt{10} - (-3\sqrt{10})|}{\sqrt{3^2 + 1^2}} = \frac{5,5\sqrt{10}}{\sqrt{10}} = 5,5\] Ответ: 5,5. Задача №9. Составить уравнение прямой, проходящей через \(M(5; 1)\) под углом \(\frac{\pi}{4}\) к прямой \(2x + y - 4 = 0\). 1) Угловой коэффициент данной прямой \(l_1\): \(y = -2x + 4 \Rightarrow k_1 = -2\). 2) Пусть \(k_2\) — угловой коэффициент искомой прямой. Используем формулу тангенса угла между прямыми: \[\tan(\frac{\pi}{4}) = \left| \frac{k_2 - k_1}{1 + k_1 k_2} \right| \Rightarrow 1 = \left| \frac{k_2 + 2}{1 - 2k_2} \right|\] Раскроем модуль: а) \(\frac{k_2 + 2}{1 - 2k_2} = 1 \Rightarrow k_2 + 2 = 1 - 2k_2 \Rightarrow 3k_2 = -1 \Rightarrow k_2 = -\frac{1}{3}\) б) \(\frac{k_2 + 2}{1 - 2k_2} = -1 \Rightarrow k_2 + 2 = -1 + 2k_2 \Rightarrow k_2 = 3\) 3) Составим уравнения прямых через точку \(M(5; 1)\): Для \(k = 3\): \(y - 1 = 3(x - 5) \Rightarrow y = 3x - 14\). Для \(k = -1/3\): \(y - 1 = -\frac{1}{3}(x - 5) \Rightarrow 3y - 3 = -x + 5 \Rightarrow x + 3y - 8 = 0\). Ответ: \(y = 3x - 14\) и \(x + 3y - 8 = 0\).