Решение задач 1, 3, 8, 14, 16, 17

Ниже представлено подробное решение задач, оформленное для удобного переписывания в школьную тетрадь. Задача 16. Найти угол между плоскостями \(3x - 2y + z - 5 = 0\) и \(4x + y - 2z - 3 = 0\). Решение: Угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами. Выпишем нормальные векторы плоскостей: \[\vec{n_1} = \{3; -2; 1\}\] \[\vec{n_2} = \{4; 1; -2\}\] Косинус угла \(\phi\) вычисляется по формуле: \[\cos \phi = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|}\] \[\cos \phi = \frac{|3 \cdot 4 + (-2) \cdot 1 + 1 \cdot (-2)|}{\sqrt{3^2 + (-2)^2 + 1^2} \cdot \sqrt{4^2 + 1^2 + (-2)^2}} = \frac{|12 - 2 - 2|}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{21}} = \frac{8}{\sqrt{294}} = \frac{8}{7\sqrt{6}}\] Ответ: \(\phi = \arccos \frac{8}{7\sqrt{6}}\). Задача 14. Найти расстояние между плоскостями \(\alpha: 2x - y + z - 4 = 0\) и \(\beta: -4x + 2y - 2z + 7 = 0\). Решение: 1) Проверим плоскости на параллельность. Нормальные векторы: \(\vec{n_{\alpha}} = \{2; -1; 1\}\), \(\vec{n_{\beta}} = \{-4; 2; -2\}\). Так как \(\frac{2}{-4} = \frac{-1}{2} = \frac{1}{-2}\), векторы коллинеарны, значит плоскости параллельны. 2) Выберем точку \(A\) на плоскости \(\alpha\). Пусть \(x=0, y=0\), тогда \(z-4=0 \Rightarrow z=4\). Точка \(A(0; 0; 4) \in \alpha\). 3) Расстояние от точки \(A\) до плоскости \(\beta\) вычисляется по формуле: \[d = \frac{|-4 \cdot 0 + 2 \cdot 0 - 2 \cdot 4 + 7|}{\sqrt{(-4)^2 + 2^2 + (-2)^2}} = \frac{|-8 + 7|}{\sqrt{16 + 4 + 4}} = \frac{1}{\sqrt{24}} = \frac{1}{2\sqrt{6}}\] Ответ: \(\frac{1}{2\sqrt{6}}\). Задача 1. Записать уравнение прямой, проходящей через точки \(A(-1; 3; 4)\) и \(B(2; -3; 5)\). Решение: Направим вектор прямой по вектору \(\vec{AB}\): \[\vec{s} = \vec{AB} = \{2 - (-1); -3 - 3; 5 - 4\} = \{3; -6; 1\}\] Используя точку \(A(-1; 3; 4)\) и направляющий вектор \(\vec{s}\), запишем каноническое уравнение прямой: \[\frac{x + 1}{3} = \frac{y - 3}{-6} = \frac{z - 4}{1}\] Ответ: \(\frac{x + 1}{3} = \frac{y - 3}{-6} = \frac{z - 4}{1}\). Задача 3. Записать уравнение прямой, проходящей через точку \(A(2; -7; 3)\) параллельно прямой \(l: \frac{x-1}{4} = \frac{y-3}{-5} = \frac{z-4}{2}\). Решение: Так как искомая прямая \(l_1\) параллельна прямой \(l\), их направляющие векторы совпадают: \[\vec{s} = \{4; -5; 2\}\] Используя точку \(A(2; -7; 3)\), составляем уравнение: \[\frac{x - 2}{4} = \frac{y + 7}{-5} = \frac{z - 3}{2}\] Ответ: \(\frac{x - 2}{4} = \frac{y + 7}{-5} = \frac{z - 3}{2}\). Задача 8. Записать уравнение прямой, проходящей через точку \(B(-2; 7; 1)\) перпендикулярно к плоскости \(\alpha: 5x - y + 7z + 9 = 0\). Решение: Так как прямая перпендикулярна плоскости, её направляющий вектор \(\vec{s}\) совпадает с нормальным вектором плоскости \(\vec{n}\): \[\vec{s} = \vec{n} = \{5; -1; 7\}\] Используя точку \(B(-2; 7; 1)\), записываем уравнение прямой: \[\frac{x + 2}{5} = \frac{y - 7}{-1} = \frac{z - 1}{7}\] Ответ: \(\frac{x + 2}{5} = \frac{y - 7}{-1} = \frac{z - 1}{7}\). Задача 17. Найти угол между прямыми \(l_1: \frac{x-1}{5} = \frac{y+1}{-2} = \frac{z+7}{0}\) и \(l_2: \frac{x-1}{4} = \frac{y-3}{-5} = \frac{z-4}{2}\). Решение: Выпишем направляющие векторы прямых: \[\vec{s_1} = \{5; -2; 0\}\] \[\vec{s_2} = \{4; -5; 2\}\] Косинус угла между прямыми: \[\cos \phi = \frac{|\vec{s_1} \cdot \vec{s_2}|}{|\vec{s_1}| \cdot |\vec{s_2}|}\] \[\cos \phi = \frac{|5 \cdot 4 + (-2) \cdot (-5) + 0 \cdot 2|}{\sqrt{5^2 + (-2)^2 + 0^2} \cdot \sqrt{4^2 + (-5)^2 + 2^2}} = \frac{|20 + 10 + 0|}{\sqrt{29} \cdot \sqrt{45}} = \frac{30}{\sqrt{1305}}\] Упростим: \(\sqrt{1305} = \sqrt{9 \cdot 145} = 3\sqrt{145}\). \[\cos \phi = \frac{30}{3\sqrt{145}} = \frac{10}{\sqrt{145}}\] Ответ: \(\phi = \arccos \frac{10}{\sqrt{145}}\).