Решение задачи №17: Найти проекцию точки на прямую

Ниже представлено решение задач, оформленное для записи в тетрадь. Задача №17 Условие: Найти проекцию точки \(P(-8, 12)\) на прямую, проходящую через точки \(A(2, -3)\) и \(B(-5, 1)\). Решение: 1) Составим уравнение прямой \(AB\), используя формулу прямой через две точки: \[ \frac{x - x_A}{x_B - x_A} = \frac{y - y_A}{y_B - y_A} \] \[ \frac{x - 2}{-5 - 2} = \frac{y - (-3)}{1 - (-3)} \Rightarrow \frac{x - 2}{-7} = \frac{y + 3}{4} \] Перемножим крест-накрест: \[ 4(x - 2) = -7(y + 3) \Rightarrow 4x - 8 = -7y - 21 \] \[ 4x + 7y + 13 = 0 \quad (\text{уравнение прямой } AB) \] 2) Проекция точки \(P\) на прямую — это точка \(Q\), такая что \(PQ \perp AB\). Составим уравнение прямой \(PQ\). Так как она перпендикулярна \(AB\), её вектор нормали будет направляющим вектором для \(AB\), или можно воспользоваться коэффициентами: если прямая \(AB\) имеет вид \(Ax + By + C = 0\), то перпендикулярная ей прямая имеет вид \(Bx - Ay + C_1 = 0\). \[ 7x - 4y + C_1 = 0 \] Подставим координаты точки \(P(-8, 12)\): \[ 7 \cdot (-8) - 4 \cdot 12 + C_1 = 0 \Rightarrow -56 - 48 + C_1 = 0 \Rightarrow C_1 = 104 \] \[ 7x - 4y + 104 = 0 \quad (\text{уравнение прямой } PQ) \] 3) Найдем точку пересечения \(Q\), решив систему уравнений: \[ \begin{cases} 4x + 7y = -13 \\ 7x - 4y = -104 \end{cases} \] Умножим первое уравнение на 4, второе на 7: \[ \begin{cases} 16x + 28y = -52 \\ 49x - 28y = -728 \end{cases} \] Сложим уравнения: \[ 65x = -780 \Rightarrow x = -12 \] Подставим \(x\) в первое уравнение: \[ 4 \cdot (-12) + 7y = -13 \Rightarrow -48 + 7y = -13 \Rightarrow 7y = 35 \Rightarrow y = 5 \] Ответ: \(Q(-12, 5)\). Задача №13 Условие: Площадь треугольника \(S = 8\), вершины \(A(1, -2)\), \(B(2, 3)\). Вершина \(C\) лежит на прямой \(2x + y - 2 = 0\). Найти координаты \(C\). Решение: 1) Выразим координаты точки \(C\). Так как она лежит на прямой \(y = 2 - 2x\), то \(C(x, 2 - 2x)\). 2) Найдем длину основания \(AB\): \[ AB = \sqrt{(2 - 1)^2 + (3 - (-2))^2} = \sqrt{1^2 + 5^2} = \sqrt{26} \] 3) Составим уравнение прямой \(AB\): \[ \frac{x - 1}{2 - 1} = \frac{y + 2}{3 + 2} \Rightarrow \frac{x - 1}{1} = \frac{y + 2}{5} \Rightarrow 5x - 5 = y + 2 \Rightarrow 5x - y - 7 = 0 \] 4) Высота \(h\) треугольника — это расстояние от точки \(C\) до прямой \(AB\): \[ h = \frac{|5x - (2 - 2x) - 7|}{\sqrt{5^2 + (-1)^2}} = \frac{|5x - 2 + 2x - 7|}{\sqrt{26}} = \frac{|7x - 9|}{\sqrt{26}} \] 5) Используем формулу площади \(S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h\): \[ 8 = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{26} \cdot \frac{|7x - 9|}{\sqrt{26}} \Rightarrow 8 = \frac{|7x - 9|}{2} \Rightarrow |7x - 9| = 16 \] 6) Решим уравнение с модулем: а) \(7x - 9 = 16 \Rightarrow 7x = 25 \Rightarrow x_1 = \frac{25}{7}\) Тогда \(y_1 = 2 - 2 \cdot \frac{25}{7} = \frac{14 - 50}{7} = -\frac{36}{7}\) б) \(7x - 9 = -16 \Rightarrow 7x = -7 \Rightarrow x_2 = -1\) Тогда \(y_2 = 2 - 2 \cdot (-1) = 4\) Ответ: \(C_1(\frac{25}{7}, -\frac{36}{7})\) или \(C_2(-1, 4)\).