Задача: Высота отскока мяча после удара

Давайте решим эту задачу. Сначала нужно понять, что в задаче не хватает некоторых данных. Чтобы определить высоту отскока мяча, нам нужно знать, какая часть энергии сохраняется при ударе. Это описывается коэффициентом восстановления (или коэффициентом упругости) при ударе. Если в задаче не указан коэффициент восстановления, то мы не можем точно рассчитать высоту отскока. Обычно в таких задачах предполагается, что удар абсолютно упругий (коэффициент восстановления равен 1) или дается значение коэффициента. Давайте предположим, что задача подразумевает, что мы должны указать, что данных недостаточно, или же, если это задача из учебника, возможно, предполагается, что коэффициент восстановления нужно взять из общих знаний (например, для резинового мяча он может быть около 0.7-0.9). Но если мы хотим дать полный ответ, давайте рассмотрим два варианта: 1. **Случай, когда данных недостаточно.** 2. **Случай, когда мы предполагаем коэффициент восстановления.** ---

Решение задачи

1. Анализ исходных данных

Нам дано: * Начальная высота, с которой бросают мяч: \(h_0 = 3\) м. * Начальная скорость, с которой бросают мяч вниз: \(v_0 = 6\) м/с. (В условии написано "6 с", но, скорее всего, это опечатка и имелось в виду "6 м/с"). Нам нужно найти: * Высота отскока мяча после удара: \(h_1\).

2. Определение скорости мяча перед ударом о землю

Мяч падает с высоты \(h_0\) с начальной скоростью \(v_0\). Мы можем использовать закон сохранения энергии или формулы кинематики для нахождения скорости мяча \(v_{земля}\) непосредственно перед ударом о землю. Используем закон сохранения энергии. Начальная полная энергия (на высоте \(h_0\)): \[E_{начальная} = E_{потенциальная} + E_{кинетическая} = mgh_0 + \frac{1}{2}mv_0^2\] Полная энергия перед ударом о землю (на высоте \(h=0\)): \[E_{земля} = E_{потенциальная} + E_{кинетическая} = mg(0) + \frac{1}{2}mv_{земля}^2 = \frac{1}{2}mv_{земля}^2\] По закону сохранения энергии (без учета сопротивления воздуха): \[E_{начальная} = E_{земля}\] \[mgh_0 + \frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}mv_{земля}^2\] Разделим все на \(m\): \[gh_0 + \frac{1}{2}v_0^2 = \frac{1}{2}v_{земля}^2\] Умножим все на 2: \[2gh_0 + v_0^2 = v_{земля}^2\] Отсюда скорость перед ударом: \[v_{земля} = \sqrt{v_0^2 + 2gh_0}\] Подставим значения: \(g \approx 9.8\) м/с\(^2\), \(h_0 = 3\) м, \(v_0 = 6\) м/с. \[v_{земля} = \sqrt{(6 \text{ м/с})^2 + 2 \cdot (9.8 \text{ м/с}^2) \cdot (3 \text{ м})}\] \[v_{земля} = \sqrt{36 \text{ м}^2/\text{с}^2 + 58.8 \text{ м}^2/\text{с}^2}\] \[v_{земля} = \sqrt{94.8 \text{ м}^2/\text{с}^2}\] \[v_{земля} \approx 9.736 \text{ м/с}\]

3. Определение скорости отскока

Для определения скорости отскока \(v_{отскок}\) нам нужен коэффициент восстановления \(k\) (или \(e\)). Коэффициент восстановления определяется как отношение скорости после удара к скорости до удара: \[k = \frac{v_{отскок}}{v_{земля}}\] Отсюда: \[v_{отскок} = k \cdot v_{земля}\] **Важно:** В условии задачи не указан коэффициент восстановления. Без него мы не можем найти точное значение \(v_{отскок}\) и, следовательно, \(h_1\). **Вариант А: Если задача подразумевает, что данных недостаточно.** В этом случае ответ будет: "Для решения задачи необходимо знать коэффициент восстановления мяча при ударе о землю." **Вариант Б: Если мы должны предположить значение коэффициента восстановления.** Давайте предположим, что мяч резиновый и коэффициент восстановления \(k = 0.8\). Это типичное значение для многих мячей. Тогда: \[v_{отскок} = 0.8 \cdot 9.736 \text{ м/с}\] \[v_{отскок} \approx 7.789 \text{ м/с}\]

4. Определение высоты отскока

После отскока мяч поднимается на высоту \(h_1\) с начальной скоростью \(v_{отскок}\). В верхней точке подъема его скорость станет равной нулю. Используем закон сохранения энергии для этого этапа. Начальная энергия после отскока (на земле): \[E_{отскок} = \frac{1}{2}mv_{отскок}^2\] Энергия на максимальной высоте \(h_1\): \[E_{высота} = mgh_1\] По закону сохранения энергии: \[E_{отскок} = E_{высота}\] \[\frac{1}{2}mv_{отскок}^2 = mgh_1\] Разделим на \(m\): \[\frac{1}{2}v_{отскок}^2 = gh_1\] Отсюда высота отскока: \[h_1 = \frac{v_{отскок}^2}{2g}\] Подставим значение \(v_{отскок}\) (из Варианта Б, где \(k=0.8\)): \[h_1 = \frac{(7.789 \text{ м/с})^2}{2 \cdot 9.8 \text{ м/с}^2}\] \[h_1 = \frac{60.668 \text{ м}^2/\text{с}^2}{19.6 \text{ м/с}^2}\] \[h_1 \approx 3.095 \text{ м}\] ---

Вывод

**Если в задаче не указан коэффициент восстановления, то точный ответ дать невозможно.** **Если предположить, что коэффициент восстановления мяча \(k = 0.8\), то:** 1. Скорость мяча перед ударом о землю: \(v_{земля} \approx 9.74\) м/с. 2. Скорость мяча сразу после отскока: \(v_{отскок} \approx 7.79\) м/с. 3. Высота, на которую отскочит мяч: \(h_1 \approx 3.10\) м. ---

Ответ для тетради школьника:

**Задача:** Мяч бросают вниз с высоты 3 м со скоростью 6 м/с. На какую высоту отскочит мяч после удара? **Дано:** Начальная высота: \(h_0 = 3\) м Начальная скорость: \(v_0 = 6\) м/с Ускорение свободного падения: \(g \approx 9.8\) м/с\(^2\) **Найти:** Высота отскока: \(h_1\) **Решение:** 1. **Найдем скорость мяча перед ударом о землю.** Используем закон сохранения энергии. Полная энергия в начале (на высоте \(h_0\)) равна полной энергии перед ударом (на высоте 0). \[mgh_0 + \frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}mv_{земля}^2\] Сократим массу \(m\): \[gh_0 + \frac{1}{2}v_0^2 = \frac{1}{2}v_{земля}^2\] Умножим на 2: \[2gh_0 + v_0^2 = v_{земля}^2\] \[v_{земля} = \sqrt{v_0^2 + 2gh_0}\] Подставим значения: \[v_{земля} = \sqrt{(6 \text{ м/с})^2 + 2 \cdot (9.8 \text{ м/с}^2) \cdot (3 \text{ м})}\] \[v_{земля} = \sqrt{36 + 58.8}\] \[v_{земля} = \sqrt{94.8}\] \[v_{земля} \approx 9.74 \text{ м/с}\] 2. **Определим скорость отскока и высоту отскока.** Для этого нам нужен **коэффициент восстановления** мяча при ударе о землю. В условии задачи он не указан. Без этого значения невозможно точно рассчитать высоту отскока. **Если предположить, что коэффициент восстановления \(k = 0.8\) (типичное значение для резинового мяча):** Скорость отскока \(v_{отскок}\) будет: \[v_{отскок} = k \cdot v_{земля}\] \[v_{отскок} = 0.8 \cdot 9.74 \text{ м/с}\] \[v_{отскок} \approx 7.79 \text{ м/с}\] Теперь найдем высоту отскока \(h_1\). Мяч поднимается на эту высоту, теряя кинетическую энергию и приобретая потенциальную. \[\frac{1}{2}mv_{отскок}^2 = mgh_1\] Сократим массу \(m\): \[\frac{1}{2}v_{отскок}^2 = gh_1\] \[h_1 = \frac{v_{отскок}^2}{2g}\] Подставим значения: \[h_1 = \frac{(7.79 \text{ м/с})^2}{2 \cdot 9.8 \text{ м/с}^2}\] \[h_1 = \frac{60.6841}{19.6}\] \[h_1 \approx 3.10 \text{ м}\] **Вывод:** Для точного решения задачи необходимо знать коэффициент восстановления мяча при ударе о землю. Если принять коэффициент восстановления \(k = 0.8\), то мяч отскочит на высоту примерно \(3.10\) м. **Ответ:** Для решения задачи необходимо знать коэффициент восстановления мяча при ударе о землю. Если принять коэффициент восстановления равным \(0.8\), то мяч отскочит на высоту примерно \(3.10\) м.