Решение задачи: Пленка скипидара и дифракция света

Решение задачи: Дано: Интенсивность света при параллельных плоскостях поляризаторов \(I_{\parallel}\) Интенсивность света при взаимно перпендикулярных плоскостях поляризаторов \(I_{\perp}\) Отношение интенсивностей \(\frac{I_{\parallel}}{I_{\perp}} = 9,53\) Найти: а) Степень поляризации света, прошедшего только через один поляризатор \(P_1\) б) Степень поляризации, обуславливаемую системой при параллельных плоскостях поляризаторов \(P_{\text{сист}}\) Ход решения: 1. Введем обозначения для интенсивностей. Пусть \(I_0\) — интенсивность естественного света. Несовершенный поляризатор пропускает часть неполяризованного света. Интенсивность света, прошедшего через один несовершенный поляризатор, можно представить как сумму двух составляющих: * \(I_{\text{max}}\) — максимальная интенсивность поляризованной составляющей (пропускается по оси поляризатора). * \(I_{\text{min}}\) — минимальная интенсивность поляризованной составляющей (пропускается перпендикулярно оси поляризатора). Интенсивность света, прошедшего через один поляризатор, будет \(I_1 = \frac{I_0}{2} + \frac{I_0}{2} \cdot P_1\), где \(P_1\) — степень поляризации, создаваемая одним поляризатором. Однако, удобнее использовать коэффициенты пропускания. Пусть \(k_1\) — коэффициент пропускания для поляризованной составляющей, параллельной оси поляризатора. Пусть \(k_2\) — коэффициент пропускания для поляризованной составляющей, перпендикулярной оси поляризатора. Для естественного света, который состоит из двух некогерентных взаимно перпендикулярных составляющих с интенсивностью \(I_0/2\) каждая, интенсивность после первого поляризатора будет: \[I_1 = \frac{I_0}{2} k_1 + \frac{I_0}{2} k_2\] Степень поляризации света, прошедшего через один поляризатор, определяется как: \[P_1 = \frac{k_1 - k_2}{k_1 + k_2}\] 2. Рассмотрим прохождение света через два поляризатора. После первого поляризатора свет становится частично поляризованным. Его можно представить как сумму полностью поляризованного света с интенсивностью \(I_p = \frac{I_0}{2}(k_1 - k_2)\) и неполяризованного света с интенсивностью \(I_{np} = I_0 k_2\). Или, что эквивалентно, как две взаимно перпендикулярные составляющие с интенсивностями \(I_x = \frac{I_0}{2} k_1\) и \(I_y = \frac{I_0}{2} k_2\), если ось первого поляризатора совпадает с осью x. а) Случай параллельных плоскостей поляризаторов (\(I_{\parallel}\)): Оси обоих поляризаторов параллельны. Интенсивность света, прошедшего через первый поляризатор: \(I_1 = \frac{I_0}{2} k_1 + \frac{I_0}{2} k_2\) Второй поляризатор пропускает составляющую \(I_x\) с коэффициентом \(k_1\) и составляющую \(I_y\) с коэффициентом \(k_2\). \[I_{\parallel} = \left(\frac{I_0}{2} k_1\right) k_1 + \left(\frac{I_0}{2} k_2\right) k_2 = \frac{I_0}{2} (k_1^2 + k_2^2)\] б) Случай взаимно перпендикулярных плоскостей поляризаторов (\(I_{\perp}\)): Ось первого поляризатора, например, по оси x, ось второго — по оси y. Интенсивность света, прошедшего через первый поляризатор, имеет составляющие \(I_x = \frac{I_0}{2} k_1\) и \(I_y = \frac{I_0}{2} k_2\). Второй поляризатор пропускает составляющую \(I_x\) с коэффициентом \(k_2\) (так как она перпендикулярна его оси) и составляющую \(I_y\) с коэффициентом \(k_1\) (так как она параллельна его оси). \[I_{\perp} = \left(\frac{I_0}{2} k_1\right) k_2 + \left(\frac{I_0}{2} k_2\right) k_1 = \frac{I_0}{2} (2 k_1 k_2) = I_0 k_1 k_2\] 3. Используем данное отношение интенсивностей: \[\frac{I_{\parallel}}{I_{\perp}} = \frac{\frac{I_0}{2} (k_1^2 + k_2^2)}{I_0 k_1 k_2} = \frac{k_1^2 + k_2^2}{2 k_1 k_2} = 9,53\] Разделим числитель и знаменатель на \(k_2^2\): \[\frac{(k_1/k_2)^2 + 1}{2 (k_1/k_2)} = 9,53\] Пусть \(x = k_1/k_2\). Тогда: \[\frac{x^2 + 1}{2x} = 9,53\] \[x^2 + 1 = 19,06x\] \[x^2 - 19,06x + 1 = 0\] 4. Решим квадратное уравнение для \(x\): \[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\] \[x = \frac{19,06 \pm \sqrt{(-19,06)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}\] \[x = \frac{19,06 \pm \sqrt{363,2836 - 4}}{2}\] \[x = \frac{19,06 \pm \sqrt{359,2836}}{2}\] \[x = \frac{19,06 \pm 18,9548}{2}\] Получаем два корня: \[x_1 = \frac{19,06 + 18,9548}{2} = \frac{38,0148}{2} \approx 19,0074\] \[x_2 = \frac{19,06 - 18,9548}{2} = \frac{0,1052}{2} \approx 0,0526\] Поскольку \(k_1\) — коэффициент пропускания по оси, а \(k_2\) — перпендикулярно, то \(k_1 > k_2\), следовательно \(x = k_1/k_2 > 1\). Выбираем \(x = 19,0074\). Итак, \(\frac{k_1}{k_2} = 19,0074\). 5. а) Определим степень поляризации света, прошедшего только через один поляризатор \(P_1\): \[P_1 = \frac{k_1 - k_2}{k_1 + k_2}\] Разделим числитель и знаменатель на \(k_2\): \[P_1 = \frac{k_1/k_2 - 1}{k_1/k_2 + 1}\] Подставим значение \(k_1/k_2 = 19,0074\): \[P_1 = \frac{19,0074 - 1}{19,0074 + 1} = \frac{18,0074}{20,0074} \approx 0,9000\] Степень поляризации \(P_1 \approx 90,0\%\). 6. б) Определим степень поляризации, обуславливаемую системой при параллельных плоскостях поляризаторов \(P_{\text{сист}}\). После прохождения через два параллельных поляризатора, интенсивность света \(I_{\parallel} = \frac{I_0}{2} (k_1^2 + k_2^2)\). Этот свет состоит из двух взаимно перпендикулярных составляющих с интенсивностями \(I_x' = \frac{I_0}{2} k_1^2\) и \(I_y' = \frac{I_0}{2} k_2^2\). Степень поляризации \(P_{\text{сист}}\) определяется как: \[P_{\text{сист}} = \frac{I_x' - I_y'}{I_x' + I_y'} = \frac{\frac{I_0}{2} k_1^2 - \frac{I_0}{2} k_2^2}{\frac{I_0}{2} k_1^2 + \frac{I_0}{2} k_2^2} = \frac{k_1^2 - k_2^2}{k_1^2 + k_2^2}\] Разделим числитель и знаменатель на \(k_2^2\): \[P_{\text{сист}} = \frac{(k_1/k_2)^2 - 1}{(k_1/k_2)^2 + 1}\] Подставим значение \(k_1/k_2 = 19,0074\): \[P_{\text{сист}} = \frac{(19,0074)^2 - 1}{(19,0074)^2 + 1} = \frac{361,2812 - 1}{361,2812 + 1} = \frac{360,2812}{362,2812} \approx 0,9945\] Степень поляризации \(P_{\text{сист}} \approx 99,45\%\). Ответ: а) Степень поляризации света, прошедшего только через один из поляризаторов, составляет примерно \(90,0\%\). б) Степень поляризации, обуславливаемая системой при параллельных плоскостях поляризаторов, составляет примерно \(99,45\%\).