Решение: Тонкая пленка скипидара и дифракция

Решение задачи: Дано: Отношение интенсивностей \(\frac{I_{\parallel}}{I_{\perp}} = 9,53\) Найти: а) Степень поляризации света, прошедшего только через один поляризатор \(P_1\) б) Степень поляризации, обуславливаемую системой при параллельных плоскостях поляризаторов \(P_{\text{сист}}\) Ход решения: 1. Представим естественный свет как сумму двух взаимно перпендикулярных некогерентных составляющих с интенсивностью \(I_0/2\) каждая. Пусть каждый несовершенный поляризатор пропускает долю \(\alpha_1\) света с плоскостью колебаний, параллельной главному направлению поляризатора, и долю \(\alpha_2\) с плоскостью колебаний, перпендикулярной главному направлению поляризатора. Предполагаем, что \(\alpha_1 > \alpha_2\). 2. Интенсивность света, прошедшего через два поляризатора. а) Когда их основные направления параллельны (\(I_{\parallel}\)): Первый поляризатор пропускает составляющую \(I_0/2\) с коэффициентом \(\alpha_1\) и составляющую \(I_0/2\) с коэффициентом \(\alpha_2\). После первого поляризатора имеем две составляющие: \(I_x = \frac{I_0}{2} \alpha_1\) и \(I_y = \frac{I_0}{2} \alpha_2\). Второй поляризатор, будучи параллельным первому, пропускает \(I_x\) с коэффициентом \(\alpha_1\) и \(I_y\) с коэффициентом \(\alpha_2\). \[I_{\parallel} = \left(\frac{I_0}{2} \alpha_1\right) \alpha_1 + \left(\frac{I_0}{2} \alpha_2\right) \alpha_2 = \frac{I_0}{2} (\alpha_1^2 + \alpha_2^2)\] б) Когда они взаимно перпендикулярны (\(I_{\perp}\)): После первого поляризатора имеем составляющие \(I_x = \frac{I_0}{2} \alpha_1\) и \(I_y = \frac{I_0}{2} \alpha_2\). Второй поляризатор, будучи перпендикулярным первому, пропускает \(I_x\) с коэффициентом \(\alpha_2\) (так как она перпендикулярна его оси) и \(I_y\) с коэффициентом \(\alpha_1\) (так как она параллельна его оси). \[I_{\perp} = \left(\frac{I_0}{2} \alpha_1\right) \alpha_2 + \left(\frac{I_0}{2} \alpha_2\right) \alpha_1 = \frac{I_0}{2} (2 \alpha_1 \alpha_2) = I_0 \alpha_1 \alpha_2\] 3. Используем данное отношение интенсивностей: \[\frac{I_{\parallel}}{I_{\perp}} = \frac{\frac{I_0}{2} (\alpha_1^2 + \alpha_2^2)}{I_0 \alpha_1 \alpha_2} = \frac{\alpha_1^2 + \alpha_2^2}{2 \alpha_1 \alpha_2} = 9,53\] Разделим числитель и знаменатель на \(\alpha_2^2\): \[\frac{(\alpha_1/\alpha_2)^2 + 1}{2 (\alpha_1/\alpha_2)} = 9,53\] Пусть \(x = \alpha_1/\alpha_2\). Тогда: \[\frac{x^2 + 1}{2x} = 9,53\] \[x^2 + 1 = 19,06x\] \[x^2 - 19,06x + 1 = 0\] 4. Решим квадратное уравнение для \(x\): \[x = \frac{-(-19,06) \pm \sqrt{(-19,06)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}\] \[x = \frac{19,06 \pm \sqrt{363,2836 - 4}}{2}\] \[x = \frac{19,06 \pm \sqrt{359,2836}}{2}\] \[x = \frac{19,06 \pm 18,9548}{2}\] Поскольку \(\alpha_1 > \alpha_2\), то \(x = \alpha_1/\alpha_2 > 1\). \[x = \frac{19,06 + 18,9548}{2} = \frac{38,0148}{2} \approx 19,0074\] Итак, \(\frac{\alpha_1}{\alpha_2} = 19,0074\). 5. а) Определим степень поляризации света, прошедшего только через один поляризатор \(P_1\). Степень поляризации \(P_1\) для света, прошедшего через один поляризатор, определяется как: \[P_1 = \frac{I_{\text{max}} - I_{\text{min}}}{I_{\text{max}} + I_{\text{min}}}\] где \(I_{\text{max}}\) — максимальная интенсивность, пропускаемая поляризатором (соответствует \(\frac{I_0}{2} \alpha_1\)), и \(I_{\text{min}}\) — минимальная интенсивность (соответствует \(\frac{I_0}{2} \alpha_2\)). Таким образом: \[P_1 = \frac{\frac{I_0}{2} \alpha_1 - \frac{I_0}{2} \alpha_2}{\frac{I_0}{2} \alpha_1 + \frac{I_0}{2} \alpha_2} = \frac{\alpha_1 - \alpha_2}{\alpha_1 + \alpha_2}\] Разделим числитель и знаменатель на \(\alpha_2\): \[P_1 = \frac{\alpha_1/\alpha_2 - 1}{\alpha_1/\alpha_2 + 1}\] Подставим значение \(\alpha_1/\alpha_2 = 19,0074\): \[P_1 = \frac{19,0074 - 1}{19,0074 + 1} = \frac{18,0074}{20,0074} \approx 0,9000\] Степень поляризации \(P_1 \approx 90,0\%\). 6. б) Определим степень поляризации, обуславливаемую системой при параллельных плоскостях поляризаторов \(P_{\text{сист}}\). После прохождения через два параллельных поляризатора, интенсивность света \(I_{\parallel} = \frac{I_0}{2} (\alpha_1^2 + \alpha_2^2)\). Этот свет состоит из двух взаимно перпендикулярных составляющих с интенсивностями \(I_x' = \frac{I_0}{2} \alpha_1^2\) и \(I_y' = \frac{I_0}{2} \alpha_2^2\). Степень поляризации \(P_{\text{сист}}\) определяется как: \[P_{\text{сист}} = \frac{I_x' - I_y'}{I_x' + I_y'} = \frac{\frac{I_0}{2} \alpha_1^2 - \frac{I_0}{2} \alpha_2^2}{\frac{I_0}{2} \alpha_1^2 + \frac{I_0}{2} \alpha_2^2} = \frac{\alpha_1^2 - \alpha_2^2}{\alpha_1^2 + \alpha_2^2}\] Разделим числитель и знаменатель на \(\alpha_2^2\): \[P_{\text{сист}} = \frac{(\alpha_1/\alpha_2)^2 - 1}{(\alpha_1/\alpha_2)^2 + 1}\] Подставим значение \(\alpha_1/\alpha_2 = 19,0074\): \[P_{\text{сист}} = \frac{(19,0074)^2 - 1}{(19,0074)^2 + 1} = \frac{361,2812 - 1}{361,2812 + 1} = \frac{360,2812}{362,2812} \approx 0,9945\] Степень поляризации \(P_{\text{сист}} \approx 99,45\%\). Ответ: а) Степень поляризации света, прошедшего только через один из поляризаторов, составляет примерно \(90,0\%\). б) Степень поляризации, обуславливаемая системой при параллельных плоскостях поляризаторов, составляет примерно \(99,45\%\).