Решение задачи: Найти скорость трех объектов

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии системы. Предположим, что система начинает движение из состояния покоя, и нам нужно найти скорость груза 3 в зависимости от пройденного пути или времени (обычно в таких задачах ищется ускорение, из которого легко найти скорость). Дано: \(M = 200\) Нм — вращающий момент на колесе 1; \(M_c = 10\) Нм — момент сопротивления на колесе 2; \(m_1 = 4\) кг, \(m_2 = 2\) кг, \(m_3 = 10\) кг — массы тел; \(R_1 = 0,8\) м, \(r_1 = 0,6\) м — радиусы ступенчатого колеса 1; \(R_2 = 0,2\) м — радиус колеса 2; \(i_1 = 0,8\) м — радиус инерции колеса 1; \(g \approx 9,81\) м/с\(^2\) — ускорение свободного падения. Найти: \(V_3\) (ускорение \(a_3\)). Решение: 1. Выразим кинематические связи через скорость груза \(V_3\): Так как нить с грузом 3 намотана на радиус \(r_1\), то угловая скорость колеса 1: \[\omega_1 = \frac{V_3}{r_1}\] Колеса 1 и 2 соединены ремнем по внешним радиусам \(R_1\) и \(R_2\). Линейная скорость ремня одинакова: \[v_{p} = \omega_1 \cdot R_1 = \omega_2 \cdot R_2\] Отсюда угловая скорость колеса 2: \[\omega_2 = \omega_1 \cdot \frac{R_1}{R_2} = \frac{V_3}{r_1} \cdot \frac{R_1}{R_2}\] 2. Составим выражение для кинетической энергии системы \(T\): \[T = T_1 + T_2 + T_3\] \[T_1 = \frac{J_1 \omega_1^2}{2}, \text{ где } J_1 = m_1 i_1^2\] \[T_2 = \frac{J_2 \omega_2^2}{2}, \text{ где } J_2 = \frac{1}{2} m_2 R_2^2 \text{ (для однородного диска)}\] \[T_3 = \frac{m_3 V_3^2}{2}\] Подставим значения скоростей: \[T = \frac{1}{2} \left( m_1 i_1^2 \frac{V_3^2}{r_1^2} + \frac{1}{2} m_2 R_2^2 \frac{V_3^2 R_1^2}{r_1^2 R_2^2} + m_3 V_3^2 \right)\] \[T = \frac{V_3^2}{2} \left( m_1 \frac{i_1^2}{r_1^2} + \frac{1}{2} m_2 \frac{R_1^2}{r_1^2} + m_3 \right)\] 3. Вычислим приведенную массу \(m_{пр}\): \[m_{пр} = 4 \cdot \frac{0,8^2}{0,6^2} + \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \frac{0,8^2}{0,6^2} + 10\] \[m_{пр} = 4 \cdot \frac{0,64}{0,36} + 1 \cdot \frac{0,64}{0,36} + 10 = 5 \cdot 1,777 + 10 \approx 18,89 \text{ кг}\] 4. Составим уравнение мощностей (сумма работ сил в единицу времени): \[\sum P = M \cdot \omega_1 - M_c \cdot \omega_2 + m_3 g \cdot V_3\] (Знак перед \(m_3 g\) зависит от направления движения, если груз опускается — плюс). \[\sum P = V_3 \left( \frac{M}{r_1} - \frac{M_c \cdot R_1}{r_1 \cdot R_2} + m_3 g \right)\] 5. Ускорение груза \(a_3\) находится из уравнения \(m_{пр} \cdot a_3 = \sum F_{пр}\): \[a_3 = \frac{\frac{M}{r_1} - \frac{M_c R_1}{r_1 R_2} + m_3 g}{m_{пр}}\] \[a_3 = \frac{\frac{200}{0,6} - \frac{10 \cdot 0,8}{0,6 \cdot 0,2} + 10 \cdot 9,81}{18,89}\] \[a_3 = \frac{333,33 - 66,67 + 98,1}{18,89} = \frac{364,76}{18,89} \approx 19,31 \text{ м/с}^2\] Ответ: Ускорение груза 3 составляет \(19,31\) м/с\(^2\). Скорость в любой момент времени \(t\) при пуске из покоя: \(V_3 = 19,31 \cdot t\) м/с.