Решение задачи на нахождение скорости и ускорения вращающихся колес

Для решения задачи 2 воспользуемся данными из таблицы для варианта 1 (столбец 1). Дано: Закон вращения колеса 3: \(\phi_3 = 10t^2\) рад; Радиус колеса 1: \(R_1 = 30\) см; Радиус колеса 3: \(R_3 = 9\) см; Момент времени: \(t_1 = 1/2\) с; Связь радиусов колес 1 и 2: \(R_2 = \frac{1}{3} R_1\). Найти: скорости и ускорения точек на ободах колес 1 и 2 (или их угловые характеристики). Решение: 1. Найдем угловую скорость и угловое ускорение колеса 3: Угловая скорость — это первая производная от угла поворота: \[\omega_3 = \frac{d\phi_3}{dt} = (10t^2)' = 20t \text{ рад/с}\] Угловое ускорение — это вторая производная: \[\varepsilon_3 = \frac{d\omega_3}{dt} = (20t)' = 20 \text{ рад/с}^2\] В момент времени \(t_1 = 0,5\) с: \[\omega_3(0,5) = 20 \cdot 0,5 = 10 \text{ рад/с}\] \[\varepsilon_3 = 20 \text{ рад/с}^2\] 2. Найдем связь между колесами 3 и 1: Колеса 3 и 1 находятся во внешнем зацеплении. Скорости в точке касания равны: \[v = \omega_3 \cdot R_3 = \omega_1 \cdot R_1\] Отсюда угловая скорость колеса 1: \[\omega_1 = \omega_3 \cdot \frac{R_3}{R_1} = 10 \cdot \frac{9}{30} = 3 \text{ рад/с}\] Аналогично для углового ускорения: \[\varepsilon_1 = \varepsilon_3 \cdot \frac{R_3}{R_1} = 20 \cdot \frac{9}{30} = 6 \text{ рад/с}^2\] 3. Колеса 1 и 2 спарены (сидят на одной оси), значит их угловые скорости и ускорения равны: \[\omega_2 = \omega_1 = 3 \text{ рад/с}\] \[\varepsilon_2 = \varepsilon_1 = 6 \text{ рад/с}^2\] 4. Найдем радиус колеса 2: \[R_2 = \frac{1}{3} R_1 = \frac{1}{3} \cdot 30 = 10 \text{ см} = 0,1 \text{ м}\] (\(R_1 = 30 \text{ см} = 0,3 \text{ м}\)) 5. Найдем линейные скорости точек на ободах колес: Для колеса 1: \[v_1 = \omega_1 \cdot R_1 = 3 \cdot 0,3 = 0,9 \text{ м/с}\] Для колеса 2: \[v_2 = \omega_2 \cdot R_2 = 3 \cdot 0,1 = 0,3 \text{ м/с}\] 6. Найдем полные ускорения точек на ободах колес: Ускорение точки складывается из вращательного (касательного) \(a_{\tau}\) и центростремительного (нормального) \(a_n\). Для колеса 1: \[a_{1\tau} = \varepsilon_1 \cdot R_1 = 6 \cdot 0,3 = 1,8 \text{ м/с}^2\] \[a_{1n} = \omega_1^2 \cdot R_1 = 3^2 \cdot 0,3 = 2,7 \text{ м/с}^2\] \[a_1 = \sqrt{a_{1\tau}^2 + a_{1n}^2} = \sqrt{1,8^2 + 2,7^2} = \sqrt{3,24 + 7,29} \approx 3,24 \text{ м/с}^2\] Для колеса 2: \[a_{2\tau} = \varepsilon_2 \cdot R_2 = 6 \cdot 0,1 = 0,6 \text{ м/с}^2\] \[a_{2n} = \omega_2^2 \cdot R_2 = 3^2 \cdot 0,1 = 0,9 \text{ м/с}^2\] \[a_2 = \sqrt{a_{2\tau}^2 + a_{2n}^2} = \sqrt{0,6^2 + 0,9^2} = \sqrt{0,36 + 0,81} \approx 1,08 \text{ м/с}^2\] Ответ: Для колеса 1: \(v_1 = 0,9\) м/с, \(a_1 \approx 3,24\) м/с\(^2\). Для колеса 2: \(v_2 = 0,3\) м/с, \(a_2 \approx 1,08\) м/с\(^2\).