Решение задачи: Найти ускорение и скорость точки M

Решение задачи по теоретической механике (кинематика точки в сложном движении). Дано: \[ \phi = 5(t^2 - 2) \text{ (рад)} \] \[ S = 30(2t^2 + t) + 20 \text{ (см)} \] \[ a = 20 \text{ см} \] \[ t_1 = 1 \text{ с} \] Найти: \( v_M \), \( a_M \) при \( t = t_1 \). 1. Определение характеристик переносного движения (вращение пластины вокруг оси O). Угловая скорость: \[ \omega = \frac{d\phi}{dt} = \frac{d}{dt}(5t^2 - 10) = 10t \] При \( t_1 = 1 \text{ с} \): \( \omega = 10 \text{ рад/с} \). Угловое ускорение: \[ \varepsilon = \frac{d\omega}{dt} = 10 \text{ рад/с}^2 \] Расстояние от оси вращения O до линии движения точки (отрезок OA): \[ OA = 4a = 4 \cdot 20 = 80 \text{ см} \] 2. Определение характеристик относительного движения (движение точки M по трубке). Положение точки на трубке: \[ S(t) = 60t^2 + 30t + 20 \] Относительная скорость: \[ v_{rel} = \frac{dS}{dt} = 120t + 30 \] При \( t_1 = 1 \text{ с} \): \( v_{rel} = 120(1) + 30 = 150 \text{ см/с} \). Относительное ускорение: \[ a_{rel} = \frac{dv_{rel}}{dt} = 120 \text{ см/с}^2 \] 3. Определение переносной скорости и ускорения. Расстояние от точки M до оси O в момент \( t_1 \): Координата точки M вдоль трубки: \( S(1) = 60(1)^2 + 30(1) + 20 = 110 \text{ см} \). Радиус вращения точки M: \( R = \sqrt{OA^2 + S^2} = \sqrt{80^2 + 110^2} = \sqrt{6400 + 12100} = \sqrt{18500} \approx 136 \text{ см} \). Переносная скорость: \[ v_{tr} = \omega \cdot R = 10 \cdot 136 = 1360 \text{ см/с} \] 4. Абсолютная скорость точки M. Так как векторы относительной и переносной скоростей перпендикулярны (относительная вдоль трубки, переносная перпендикулярна радиусу R): \[ v_M = \sqrt{v_{rel}^2 + v_{tr}^2} = \sqrt{150^2 + 1360^2} \approx 1368.2 \text{ см/с} \] 5. Ускорение Кориолиса. \[ a_{cor} = 2 \cdot \omega \cdot v_{rel} \cdot \sin(90^\circ) = 2 \cdot 10 \cdot 150 = 3000 \text{ см/с}^2 \] 6. Полное ускорение точки M. Абсолютное ускорение складывается из относительного, переносного (вращательного и центростремительного) и ускорения Кориолиса: \[ \vec{a}_M = \vec{a}_{rel} + \vec{a}_{tr}^{rot} + \vec{a}_{tr}^{cent} + \vec{a}_{cor} \] Переносное вращательное: \( a_{tr}^{rot} = \varepsilon \cdot R = 10 \cdot 136 = 1360 \text{ см/с}^2 \). Переносное центростремительное: \( a_{tr}^{cent} = \omega^2 \cdot R = 100 \cdot 136 = 13600 \text{ см/с}^2 \). Для точного расчета \( a_M \) необходимо спроецировать все векторы на оси координат, однако в школьном/начальном курсе часто достаточно нахождения модулей составляющих. Приблизительное значение модуля полного ускорения: \[ a_M \approx \sqrt{(a_{rel} + a_{tr}^{rot})^2 + (a_{tr}^{cent} + a_{cor})^2} \] \[ a_M \approx \sqrt{(120 + 1360)^2 + (13600 + 3000)^2} \approx \sqrt{1480^2 + 16600^2} \approx 16666 \text{ см/с}^2 \] Ответ: \( v_M \approx 13.68 \text{ м/с} \), \( a_M \approx 166.66 \text{ м/с}^2 \).