Решение задачи о вращении колес: угловые скорости и ускорения

Для решения задачи выберем вариант №1 из таблицы. Дано: Колесо 3 вращается по закону \(\phi_3 = 4t^2\) (рад). Радиусы колес: \(R_1 = 21\) см, \(R_3 = 7\) см. Связь радиусов: \(R_2 = \frac{2}{3} R_1\). Момент времени: \(t_1 = 1/2\) с. Колеса 1 и 2 спарены (закреплены на одном валу). Найти: угловые скорости и ускорения колес, а также скорости и ускорения точек \(M_1\) и \(M_2\) в момент времени \(t_1\). Решение: 1. Определим радиус \(R_2\): \[R_2 = \frac{2}{3} \cdot 21 = 14 \text{ см}\] 2. Найдем угловую скорость и угловое ускорение колеса 3: Угловая скорость — это производная от угла поворота: \[\omega_3 = \frac{d\phi_3}{dt} = \frac{d(4t^2)}{dt} = 8t \text{ (рад/с)}\] Угловое ускорение — производная от угловой скорости: \[\varepsilon_3 = \frac{d\omega_3}{dt} = 8 \text{ (рад/с}^2)\] В момент времени \(t_1 = 0,5\) с: \[\omega_3(0,5) = 8 \cdot 0,5 = 4 \text{ рад/с}\] \[\varepsilon_3 = 8 \text{ рад/с}^2\] 3. Найдем параметры вращения колес 1 и 2. Так как колеса 3 и 1 находятся в зацеплении, их линейные скорости в точке контакта равны: \[v = \omega_3 R_3 = \omega_1 R_1\] Отсюда угловая скорость колеса 1: \[\omega_1 = \omega_3 \frac{R_3}{R_1} = 4 \cdot \frac{7}{21} = \frac{4}{3} \approx 1,33 \text{ рад/с}\] Аналогично для углового ускорения: \[\varepsilon_1 = \varepsilon_3 \frac{R_3}{R_1} = 8 \cdot \frac{7}{21} = \frac{8}{3} \approx 2,67 \text{ рад/с}^2\] Так как колеса 1 и 2 спарены, то \(\omega_2 = \omega_1\) и \(\varepsilon_2 = \varepsilon_1\). 4. Скорость и ускорение точки \(M_1\) (на ободе колеса 1): Скорость: \[v_{M1} = \omega_1 R_1 = \frac{4}{3} \cdot 21 = 28 \text{ см/с}\] Вращательное (касательное) ускорение: \[a_{M1}^{\tau} = \varepsilon_1 R_1 = \frac{8}{3} \cdot 21 = 56 \text{ см/с}^2\] Центростремительное (нормальное) ускорение: \[a_{M1}^{n} = \omega_1^2 R_1 = \left(\frac{4}{3}\right)^2 \cdot 21 = \frac{16}{9} \cdot 21 = \frac{112}{3} \approx 37,33 \text{ см/с}^2\] Полное ускорение точки \(M_1\): \[a_{M1} = \sqrt{(a_{M1}^{\tau})^2 + (a_{M1}^{n})^2} = \sqrt{56^2 + 37,33^2} \approx 67,3 \text{ см/с}^2\] 5. Скорость и ускорение груза \(M_2\): Груз \(M_2\) подвешен на нити, сматывающейся с колеса 2. Его скорость и ускорение равны линейной скорости и тангенциальному ускорению точек на ободе колеса 2. Скорость груза: \[v_{M2} = \omega_2 R_2 = \frac{4}{3} \cdot 14 = \frac{56}{3} \approx 18,67 \text{ см/с}\] Ускорение груза: \[a_{M2} = \varepsilon_2 R_2 = \frac{8}{3} \cdot 14 = \frac{112}{3} \approx 37,33 \text{ см/с}^2\] Схематичный рисунок для тетради: Нарисуйте две окружности (колеса 1 и 2) с общим центром. Колесо 1 больше (радиус 21), колесо 2 меньше (радиус 14). Слева пририсуйте колесо 3 (радиус 7), касающееся колеса 1. От колеса 2 вниз проведите линию (нить) к прямоугольнику (груз \(M_2\)). Точку \(M_1\) поставьте на внешней границе колеса 1. Стрелками укажите направления вращения: если колесо 3 вращается по часовой стрелке, то колесо 1 — против часовой.