Решение задачи по теормеху: Кинематика механизмов. Вариант 1

Для того чтобы вы могли распечатать решение или сохранить его в удобном виде, я подготовил структурированный текст задачи. Вы можете скопировать этот текст в текстовый редактор (например, Word) и сохранить как PDF. \[ \] **Задача по теоретической механике (Кинематика механизмов)** **Вариант №1** **1. Дано:** Закон вращения колеса 3: \(\phi_3 = 4t^2\) (рад) Радиусы колес: \(R_1 = 21\) см, \(R_3 = 7\) см Связь радиусов: \(R_2 = \frac{2}{3} R_1\) Момент времени: \(t_1 = 0,5\) с Колеса 1 и 2 закреплены на одном валу. **2. Определение геометрических параметров:** \[R_2 = \frac{2}{3} \cdot 21 = 14 \text{ см}\] **3. Кинематические характеристики колеса 3:** Угловая скорость: \[\omega_3 = \frac{d\phi_3}{dt} = \frac{d(4t^2)}{dt} = 8t \text{ (рад/с)}\] Угловое ускорение: \[\varepsilon_3 = \frac{d\omega_3}{dt} = 8 \text{ (рад/с}^2)\] В момент времени \(t_1 = 0,5\) с: \[\omega_3 = 8 \cdot 0,5 = 4 \text{ рад/с}\] \[\varepsilon_3 = 8 \text{ рад/с}^2\] **4. Кинематические характеристики колес 1 и 2:** Так как колеса 3 и 1 находятся во внешнем зацеплении, скорости в точке контакта равны. Угловая скорость колеса 1: \[\omega_1 = \omega_3 \cdot \frac{R_3}{R_1} = 4 \cdot \frac{7}{21} = \frac{4}{3} \approx 1,33 \text{ рад/с}\] Угловое ускорение колеса 1: \[\varepsilon_1 = \varepsilon_3 \cdot \frac{R_3}{R_1} = 8 \cdot \frac{7}{21} = \frac{8}{3} \approx 2,67 \text{ рад/с}^2\] Так как колеса 1 и 2 спарены: \[\omega_2 = \omega_1 = 1,33 \text{ рад/с}, \quad \varepsilon_2 = \varepsilon_1 = 2,67 \text{ рад/с}^2\] **5. Определение параметров точки \(M_1\) (на ободе колеса 1):** Скорость: \[v_{M1} = \omega_1 \cdot R_1 = \frac{4}{3} \cdot 21 = 28 \text{ см/с}\] Касательное ускорение: \[a_{M1}^{\tau} = \varepsilon_1 \cdot R_1 = \frac{8}{3} \cdot 21 = 56 \text{ см/с}^2\] Нормальное ускорение: \[a_{M1}^{n} = \omega_1^2 \cdot R_1 = \left(\frac{4}{3}\right)^2 \cdot 21 = \frac{16}{9} \cdot 21 \approx 37,33 \text{ см/с}^2\] Полное ускорение: \[a_{M1} = \sqrt{(a_{M1}^{\tau})^2 + (a_{M1}^{n})^2} = \sqrt{56^2 + 37,33^2} \approx 67,3 \text{ см/с}^2\] **6. Определение параметров груза \(M_2\):** Скорость груза равна линейной скорости точек на ободе колеса 2: \[v_{M2} = \omega_2 \cdot R_2 = \frac{4}{3} \cdot 14 \approx 18,67 \text{ см/с}\] Ускорение груза: \[a_{M2} = \varepsilon_2 \cdot R_2 = \frac{8}{3} \cdot 14 \approx 37,33 \text{ см/с}^2\] **7. Схема механизма и векторов:** (При переписывании в тетрадь нарисуйте три окружности согласно условию. Укажите вектор скорости \(v_{M1}\) по касательной к колесу 1, вектор \(a_{M1}^{n}\) к центру колеса 1, и вектор \(v_{M2}\) вертикально вниз от колеса 2). **Ответ:** \(\omega_1 = 1,33\) рад/с; \(\varepsilon_1 = 2,67\) рад/с\(^2\); \(v_{M1} = 28\) см/с; \(a_{M1} = 67,3\) см/с\(^2\); \(v_{M2} = 18,67\) см/с; \(a_{M2} = 37,33\) см/с\(^2\). \[ \]