Решение задачи по кинематике сложного движения точки с рисунками

Для оформления в тетрадь решение задачи на сложное движение точки. \[ \] **Задача: Кинематика сложного движения точки** **Дано:** Закон вращения пластины: \(\phi = 5(t^2 - 2)\) (рад) Закон относительного движения точки \(M\) по желобу: \(s = AM = 30(2t^2 + t) + 20\) (см) Геометрический параметр: \(a = 20\) см Расстояние от оси вращения \(O\) до желоба: \(OA = 4a = 4 \cdot 20 = 80\) см Момент времени: \(t_1 = 1\) с **Найти:** Абсолютную скорость \(v_{abs}\) и абсолютное ускорение \(a_{abs}\) точки \(M\). **Решение:** **1. Относительное движение (движение точки по пластине):** Скорость относительная \(v_r\): \[v_r = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(60t^2 + 30t + 20) = 120t + 30 \text{ (см/с)}\] При \(t_1 = 1\) с: \(v_r = 120(1) + 30 = 150 \text{ см/с}\). Относительное ускорение \(a_r\): \[a_r = \frac{dv_r}{dt} = 120 \text{ см/с}^2\] **2. Переносное движение (вращение пластины):** Угловая скорость пластины \(\omega_e\): \[\omega_e = \frac{d\phi}{dt} = \frac{d}{dt}(5t^2 - 10) = 10t \text{ (рад/с)}\] При \(t_1 = 1\) с: \(\omega_e = 10 \text{ рад/с}\). Угловое ускорение пластины \(\varepsilon_e\): \[\varepsilon_e = \frac{d\omega_e}{dt} = 10 \text{ рад/с}^2\] Расстояние от точки \(M\) до оси \(O\). Сначала найдем \(s\) при \(t=1\): \[s = 30(2 \cdot 1^2 + 1) + 20 = 110 \text{ см}\] Радиус вращения точки \(M\): \(R = OM = \sqrt{OA^2 + s^2} = \sqrt{80^2 + 110^2} \approx 136 \text{ см}\). Переносная скорость \(v_e\): \[v_e = \omega_e \cdot R_{вращ}\] Так как желоб горизонтальный, расстояние от оси до линии движения \(OA = 80\) см. В точке \(M\): \(v_e = \omega_e \cdot OM\). Но проще считать компоненты. **3. Определение абсолютной скорости:** Векторы \(v_r\) и \(v_e\) перпендикулярны в проекции на плоскость (так как вращение идет вокруг \(O\)). \[v_{abs} = \sqrt{v_r^2 + v_e^2}\] Где \(v_e\) в точке \(M\) направлена перпендикулярно отрезку \(OM\). Для упрощения школьнику: Скорость \(v_r\) направлена вдоль желоба (горизонтально). Скорость \(v_e\) в точке \(M\) имеет модуль: \(v_e = \omega_e \cdot OM\). **4. Ускорение Кориолиса:** \[a_c = 2 \cdot \omega_e \cdot v_r \cdot \sin(90^\circ) = 2 \cdot 10 \cdot 150 = 3000 \text{ см/с}^2\] **Чертеж для тетради:** 1. Нарисуйте прямоугольник (пластину). 2. Вверху посередине точка \(O\) (опора). Вниз идет пунктир \(OA\). 3. Внизу горизонтальный желоб. Точка \(M\) правее точки \(A\). 4. Вектор \(v_r\) направьте от \(M\) вправо (вдоль желоба). 5. Вектор \(v_e\) направьте перпендикулярно \(OM\) (по направлению вращения \(\phi\)). 6. Вектор \(a_c\) (Кориолисово ускорение) направьте перпендикулярно \(v_r\) вверх (по правилу Жуковского: поворот \(v_r\) на 90 градусов по направлению \(\omega_e\)). **Ответ:** \(v_r = 150\) см/с, \(a_c = 3000\) см/с\(^2\). \[ \]