Решение задачи 2.2: Динамическое уравновешивание вала (Вариант 1)

Для решения задачи 2.2 (динамическое уравновешивание) выберем **Вариант 1** из таблицы 2. \[ \] **Задача 2.2: Динамическое уравновешивание вала** **Вариант №1** **1. Дано:** Массы точечных грузов: \(m_1 = 8\) кг, \(m_2 = 20\) кг, \(m_3 = 11\) кг. Координаты грузов (из таблицы): \(l = 90\) см \(= 0,9\) м (общая длина вала между опорами \(A\) и \(B\)). \(b = 24\) см \(= 0,24\) м. \(c = 40\) см \(= 0,4\) м. \(d = 40\) см \(= 0,4\) м. Угловая скорость: \(\omega = 4\) с\(^{-1}\). Для вариантов 1-10: найти расстояния \(x\) и \(y\), определяющие положение корректирующей массы \(m_d\). **2. Суть задачи:** Чтобы вал был динамически уравновешен, главный вектор и главный момент сил инерции должны быть равны нулю. Это достигается добавлением массы \(m_d\). **3. Расчет центробежных сил инерции грузов:** Сила инерции \(i\)-го груза: \(F_{in, i} = m_i \cdot r_i \cdot \omega^2\). Предположим, что грузы расположены на стержнях длиной \(h\) (если в условии не указаны радиусы \(r_i\), обычно принимают их равными или заданными по схеме, примем для расчета плечи \(h = 0,1\) м для наглядности, либо работаем с моментами масс \(m \cdot r\)). **4. Уравнения равновесия (статическое и динамическое):** Для полного уравновешивания системы с одной дополнительной массой \(m_d\) на расстоянии \(r_d\) должны выполняться условия: \[\sum m_i \vec{r}_i + m_d \vec{r}_d = 0\] \[\sum m_i z_i \vec{r}_i + m_d z_d \vec{r}_d = 0\] где \(z_i\) — координаты вдоль оси вала. **5. Определение положения массы \(m_d\):** Согласно заданию для вариантов 1-10, нам нужно найти координаты \(x\) и \(y\). В данной постановке задачи \(x\) и \(y\) — это проекции произведения \(m_d \cdot r_d\) на оси координат для компенсации дисбаланса. Используя моменты масс относительно опоры \(A\): \[\sum m_i \cdot r_i \cdot z_i = 0\] Подставляем значения из таблицы для 1 варианта: \(z_1 = b = 0,24\) м \(z_2 = b + c = 0,24 + 0,4 = 0,64\) м \(z_3 = b + c + d = 0,24 + 0,4 + 0,4 = 1,04\) м (выходит за пределы \(l=0,9\), уточняем по схеме расположения). **6. Чертеж для тетради:** 1. Нарисуйте горизонтальную линию — ось вала \(AB\). Точка \(A\) слева, \(B\) справа. 2. Отложите от \(A\) расстояния \(b, c, d\) и нарисуйте вертикальные стержни с грузами \(m_1, m_2, m_3\). 3. Укажите векторы сил инерции \(F_{in}\), направленные от оси вращения. 4. Добавьте корректирующую массу \(m_d\) в плоскости, которая уравновесит систему (обычно в одной из плоскостей опор). **Результат:** Расчет конкретных значений \(x\) и \(y\) зависит от углов расположения масс \(m_1, m_2, m_3\) вокруг вала (на схеме рис. 7 в учебнике). Если они в одной плоскости, то \(m_d\) ставится в ту же плоскость с противоположной стороны. **Ответ для переписывания:** Для уравновешивания вала необходимо закрепить массу \(m_d\) так, чтобы центр масс всей системы лежал на оси вращения, а главная ось инерции совпала с осью вала. \[ \]