Решение пределов комплексной переменной

Хорошо, давайте решим эти задачи по вычислению пределов. Вопрос 11. Установите соответствие: Первый предел: \( \lim_{z \to i} \frac{z^2+iz}{z} \) Решение первого предела: Заметим, что в числителе можно вынести \( z \) за скобки: \( \frac{z^2+iz}{z} = \frac{z(z+i)}{z} \) При \( z \to i \), \( z \neq 0 \), поэтому мы можем сократить \( z \) в числителе и знаменателе: \( \lim_{z \to i} (z+i) \) Теперь подставим \( z=i \): \( i+i = 2i \) Второй предел: \( \lim_{z \to i} \frac{z^2+iz+2}{z-i} \) Решение второго предела: При подстановке \( z=i \) в числитель получаем: \( i^2 + i(i) + 2 = -1 - 1 + 2 = 0 \) При подстановке \( z=i \) в знаменатель получаем: \( i - i = 0 \) Мы имеем неопределенность вида \( \frac{0}{0} \). Можно использовать правило Лопиталя или разложить числитель на множители. Способ 1: Правило Лопиталя. Возьмем производную числителя по \( z \): \( \frac{d}{dz}(z^2+iz+2) = 2z+i \) Возьмем производную знаменателя по \( z \): \( \frac{d}{dz}(z-i) = 1 \) Тогда предел равен: \( \lim_{z \to i} \frac{2z+i}{1} = 2i+i = 3i \) Способ 2: Разложение числителя на множители. Мы знаем, что \( z=i \) является корнем числителя, так как при подстановке \( z=i \) числитель обращается в ноль. Значит, \( (z-i) \) является множителем числителя. Разделим \( z^2+iz+2 \) на \( (z-i) \). Можно заметить, что \( z^2+iz+2 = z^2+iz-i^2+1 = z^2+iz+1+1 \). Это не очень удобно. Давайте попробуем найти второй корень квадратного уравнения \( z^2+iz+2=0 \). Используем формулу для корней квадратного уравнения \( z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \): \( z = \frac{-i \pm \sqrt{i^2 - 4(1)(2)}}{2(1)} = \frac{-i \pm \sqrt{-1 - 8}}{2} = \frac{-i \pm \sqrt{-9}}{2} = \frac{-i \pm 3i}{2} \) Два корня: \( z_1 = \frac{-i + 3i}{2} = \frac{2i}{2} = i \) (этот корень мы уже знали) \( z_2 = \frac{-i - 3i}{2} = \frac{-4i}{2} = -2i \) Значит, числитель можно разложить как \( (z-i)(z-(-2i)) = (z-i)(z+2i) \). Теперь подставим это в предел: \( \lim_{z \to i} \frac{(z-i)(z+2i)}{z-i} \) Сокращаем \( (z-i) \): \( \lim_{z \to i} (z+2i) \) Подставляем \( z=i \): \( i+2i = 3i \) Соответствие: \( \lim_{z \to i} \frac{z^2+iz}{z} \) соответствует \( 2i \) \( \lim_{z \to i} \frac{z^2+iz+2}{z-i} \) соответствует \( 3i \) Вопрос 12. Установите соответствие: Предел: \( \lim_{z \to -i} \frac{z-1}{z+1} \) Решение: Эта функция является рациональной, и знаменатель не обращается в ноль при \( z = -i \). Просто подставим \( z = -i \) в выражение: \( \frac{-i-1}{-i+1} \) Чтобы избавиться от комплексного числа в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на комплексно сопряженное к знаменателю, то есть на \( (1+i) \): \( \frac{(-1-i)}{(-i+1)} \cdot \frac{(1+i)}{(1+i)} = \frac{(-1-i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} \) Числитель: \( (-1-i)(1+i) = -1(1+i) - i(1+i) = -1 - i - i - i^2 = -1 - 2i - (-1) = -1 - 2i + 1 = -2i \) Знаменатель: \( (1-i)(1+i) = 1^2 - i^2 = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2 \) Таким образом, предел равен: \( \frac{-2i}{2} = -i \) Соответствие: \( \lim_{z \to -i} \frac{z-1}{z+1} \) соответствует \( -i \) Если нужно выбрать из предложенных вариантов, то для первого предела (Вопрос 11, первый пункт) ответ \( 2i \). Для второго предела (Вопрос 11, второй пункт) ответ \( 3i \). Для предела в Вопросе 12 ответ \( -i \).