Вопрос 12
Установите соответствие: 1. \[ \lim_{z \to i} \frac{z^2 + iz}{z} \] 2. \[ \lim_{z \to i} \frac{z^2 + iz + 2}{z - i} \]Решение первого предела:
\[ \lim_{z \to i} \frac{z^2 + iz}{z} \] Сначала попробуем подставить \(z = i\) в выражение. В числителе: \(i^2 + i \cdot i = -1 + i^2 = -1 - 1 = -2\). В знаменателе: \(i\). Получаем \(\frac{-2}{i}\). Чтобы избавиться от \(i\) в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на \(i\): \[ \frac{-2}{i} \cdot \frac{i}{i} = \frac{-2i}{i^2} = \frac{-2i}{-1} = 2i \] Другой способ решения: Вынесем \(z\) из числителя: \[ \lim_{z \to i} \frac{z(z + i)}{z} \] Так как \(z \to i\), \(z \neq 0\), мы можем сократить \(z\): \[ \lim_{z \to i} (z + i) \] Теперь подставим \(z = i\): \[ i + i = 2i \]Решение второго предела:
\[ \lim_{z \to i} \frac{z^2 + iz + 2}{z - i} \] Сначала попробуем подставить \(z = i\) в выражение. В числителе: \(i^2 + i \cdot i + 2 = -1 + i^2 + 2 = -1 - 1 + 2 = 0\). В знаменателе: \(i - i = 0\). Получаем неопределенность вида \(\frac{0}{0}\). Для раскрытия этой неопределенности можно использовать правило Лопиталя или разложить числитель на множители. Давайте разложим числитель на множители. Если \(z=i\) является корнем числителя, то \(z-i\) является одним из множителей. Мы ищем корни квадратного уравнения \(z^2 + iz + 2 = 0\). Используем формулу для корней квадратного уравнения: \(z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\). Здесь \(a=1\), \(b=i\), \(c=2\). \[ z = \frac{-i \pm \sqrt{i^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} \] \[ z = \frac{-i \pm \sqrt{-1 - 8}}{2} \] \[ z = \frac{-i \pm \sqrt{-9}}{2} \] \[ z = \frac{-i \pm 3i}{2} \] Два корня: \(z_1 = \frac{-i + 3i}{2} = \frac{2i}{2} = i\) \(z_2 = \frac{-i - 3i}{2} = \frac{-4i}{2} = -2i\) Значит, числитель можно разложить как \((z - z_1)(z - z_2) = (z - i)(z - (-2i)) = (z - i)(z + 2i)\). Теперь подставим это в предел: \[ \lim_{z \to i} \frac{(z - i)(z + 2i)}{z - i} \] Так как \(z \to i\), \(z \neq i\), мы можем сократить \((z - i)\): \[ \lim_{z \to i} (z + 2i) \] Теперь подставим \(z = i\): \[ i + 2i = 3i \]Соответствие для Вопроса 12:
* \[ \lim_{z \to i} \frac{z^2 + iz}{z} \] соответствует \(2i\). * \[ \lim_{z \to i} \frac{z^2 + iz + 2}{z - i} \] соответствует \(3i\). На изображении, где показаны варианты ответов, есть только один выпадающий список для "Вопрос 12", и в нем варианты: "Выберите...", "-i", "1-i", "0". Это означает, что либо я неправильно понял структуру вопроса, либо это варианты для одного из пределов, а не для обоих. Если "Вопрос 12" относится к первому пределу: \[ \lim_{z \to i} \frac{z^2 + iz}{z} = 2i \] Если "Вопрос 12" относится ко второму пределу: \[ \lim_{z \to i} \frac{z^2 + iz + 2}{z - i} = 3i \] Ни \(2i\), ни \(3i\) нет среди предложенных вариантов "-i", "1-i", "0". Возможно, вопрос 12 относится к другому пределу, который не виден на первом изображении, или варианты ответов относятся к другому вопросу. Однако, если мы посмотрим на второе изображение, где открыт выпадающий список, он находится напротив второго предела: \[ \lim_{z \to i} \frac{z^2 + iz + 2}{z - i} \] И варианты ответов: "Выберите...", "-i", "1-i", "0". Как мы посчитали, этот предел равен \(3i\). Среди предложенных вариантов нет \(3i\). Это может указывать на ошибку в задании или в вариантах ответов. Давайте перепроверим вычисления. Для первого предела: \[ \lim_{z \to i} \frac{z^2 + iz}{z} = \lim_{z \to i} (z + i) = i + i = 2i \] Это точно \(2i\). Для второго предела: \[ \lim_{z \to i} \frac{z^2 + iz + 2}{z - i} \] Числитель \(z^2 + iz + 2\). Корни \(z_1 = i\), \(z_2 = -2i\). Значит, \(z^2 + iz + 2 = (z - i)(z + 2i)\). \[ \lim_{z \to i} \frac{(z - i)(z + 2i)}{z - i} = \lim_{z \to i} (z + 2i) = i + 2i = 3i \] Это тоже точно \(3i\). Если предположить, что в задании есть опечатка и вместо \(z^2 + iz + 2\) должно быть что-то другое, или варианты ответов неверны. Однако, если нужно выбрать из предложенных вариантов, и ни один из них не подходит, это проблема. Давайте еще раз внимательно посмотрим на изображение. Выпадающий список "Выберите..." находится напротив второго предела. Варианты: "-i", "1-i", "0". Ни один из них не является \(3i\). Возможно, я неправильно интерпретировал изображение. На первом изображении есть два предела, и два выпадающих списка "Выберите...". Первый выпадающий список находится напротив первого предела. Второй выпадающий список находится напротив второго предела. На втором изображении открыт выпадающий список, который находится напротив первого предела: \[ \lim_{z \to i} \frac{z^2 + iz}{z} \] И варианты для него: "Выберите...", "-i", "1-i", "0". Мы посчитали, что этот предел равен \(2i\). Среди вариантов нет \(2i\). Это очень странно. Если нет правильного варианта, то выбрать нечего. Может быть, есть какая-то ошибка в условии или в вариантах ответов. Если бы это был тест, и я был бы школьником, я бы перепроверил свои вычисления несколько раз. Поскольку вычисления кажутся верными, и ни один из вариантов не совпадает, я не могу дать точный ответ из предложенных. Давайте предположим, что в задании есть опечатка, и один из вариантов должен быть \(2i\). Если бы \(2i\) был вариантом, я бы выбрал его для первого предела. Если бы \(3i\) был вариантом, я бы выбрал его для второго предела. Поскольку я должен выбрать из предложенных вариантов, и ни один из них не подходит, я не могу дать конкретный ответ для "Вопроса 12" на основе предоставленных изображений и вариантов.Вопрос 13
Установите соответствие: Найти модуль комплексного числа \(z = 4 + 3i\).Решение:
Модуль комплексного числа \(z = a + bi\) обозначается как \(|z|\) и вычисляется по формуле: \[ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \] В данном случае \(a = 4\) и \(b = 3\). Подставим значения в формулу: \[ |z| = \sqrt{4^2 + 3^2} \] \[ |z| = \sqrt{16 + 9} \] \[ |z| = \sqrt{25} \] \[ |z| = 5 \]Соответствие для Вопроса 13:
Модуль комплексного числа \(z = 4 + 3i\) равен \(5\). На изображении нет вариантов ответов для этого вопроса, но если бы они были, я бы выбрал \(5\).Итог для школьника:
Вопрос 12
(Предполагается, что нужно решить оба предела, но варианты ответов не соответствуют вычислениям) 1. Предел: \[ \lim_{z \to i} \frac{z^2 + iz}{z} \] Решение: \[ \lim_{z \to i} \frac{z(z + i)}{z} = \lim_{z \to i} (z + i) = i + i = 2i \] Ответ: \(2i\) 2. Предел: \[ \lim_{z \to i} \frac{z^2 + iz + 2}{z - i} \] Решение: Разложим числитель на множители. Корни уравнения \(z^2 + iz + 2 = 0\) это \(z_1 = i\) и \(z_2 = -2i\). Значит, \(z^2 + iz + 2 = (z - i)(z + 2i)\). \[ \lim_{z \to i} \frac{(z - i)(z + 2i)}{z - i} = \lim_{z \to i} (z + 2i) = i + 2i = 3i \] Ответ: \(3i\)Важно: На предоставленном изображении варианты ответов для первого предела (который равен \(2i\)) это "-i", "1-i", "0". Ни один из них не является правильным. Возможно, в задании или вариантах ответов есть ошибка.