Найдем модуль комплексного числа. Для z = 4 + 3i модуль равен 5, а для z = 4 - 2√5i модуль равен 6. Подробное решение внутри.
check_circle
Подробное решение
Хорошо, давайте решим эти задачи по порядку.
Установите соответствие:
1. Найти модуль комплексного числа \(z = 4 + 3i\)
Модуль комплексного числа \(z = a + bi\) находится по формуле \(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\).
В данном случае \(a = 4\) и \(b = 3\).
\[|z| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\]
Таким образом, модуль комплексного числа \(z = 4 + 3i\) равен 5.
2. Найти модуль комплексного числа \(z = 4 - 2\sqrt{5}i\)
В данном случае \(a = 4\) и \(b = -2\sqrt{5}\).
\[|z| = \sqrt{4^2 + (-2\sqrt{5})^2} = \sqrt{16 + (4 \cdot 5)} = \sqrt{16 + 20} = \sqrt{36} = 6\]
Таким образом, модуль комплексного числа \(z = 4 - 2\sqrt{5}i\) равен 6.
Для вычисления этого интеграла воспользуемся интегральной формулой Коши.
Подынтегральная функция \(f(z) = \frac{\sin iz}{z^2-4} = \frac{\sin iz}{(z-2)(z+2)}\).
Особые точки функции: \(z_1 = 2\) и \(z_2 = -2\).
Контур интегрирования - окружность \(|z|=1\).
Обе особые точки \(z_1 = 2\) и \(z_2 = -2\) находятся вне контура \(|z|=1\), так как \(|2|=2 > 1\) и \(|-2|=2 > 1\).
Поскольку подынтегральная функция аналитична внутри и на контуре \(|z|=1\), то по теореме Коши интеграл равен 0.
\[\oint_{|z|=1} \frac{\sin iz}{z^2-4} dz = 0\]
Для вычисления этого интеграла также воспользуемся интегральной формулой Коши.
Подынтегральная функция \(f(z) = \frac{(z^2+3)e^z}{z}\).
Особая точка функции: \(z_0 = 0\).
Контур интегрирования - окружность \(|z|=2\).
Особая точка \(z_0 = 0\) находится внутри контура \(|z|=2\), так как \(|0|=0 < 2\).
Применим интегральную формулу Коши для функции \(g(z) = (z^2+3)e^z\):
\[\oint_{|z|=2} \frac{g(z)}{z-z_0} dz = 2\pi i \cdot g(z_0)\]
В нашем случае \(z_0 = 0\), и \(g(z) = (z^2+3)e^z\).
Тогда \(g(0) = (0^2+3)e^0 = (0+3) \cdot 1 = 3\).
Следовательно,
\[\oint_{|z|=2} \frac{(z^2+3)e^z}{z} dz = 2\pi i \cdot g(0) = 2\pi i \cdot 3 = 6\pi i\]
Выводы для выбора ответов:
Для первого блока "Установите соответствие":
* Найти модуль комплексного числа \(z = 4 + 3i\) -> **5**
* Найти модуль комплексного числа \(z = 4 - 2\sqrt{5}i\) -> **6**
Для второго блока "Вопрос 14: Установите соответствие:":
* Интеграл \(\oint_{|z|=1} \frac{\sin iz}{z^2-4} dz\) -> **0**
* Интеграл \(\oint_{|z|=2} \frac{(z^2+3)e^z}{z} dz\) -> **6pi*i**
На основе предоставленного изображения с вариантами ответов для второго интеграла, где есть "6pi*i", "1/2", "0", мы выбираем "6pi*i".
Таким образом, ответы будут:
* Для первого интеграла: **0**
* Для второго интеграла: **6pi*i**
