Предел \[ \lim_{z \to i} \frac{z^2 + iz}{z} \]
Сначала попробуем подставить \(z = i\) в выражение:
\[ \frac{i^2 + i \cdot i}{i} = \frac{-1 + i^2}{i} = \frac{-1 - 1}{i} = \frac{-2}{i} \]
Чтобы избавиться от \(i\) в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на \(i\):
\[ \frac{-2}{i} \cdot \frac{i}{i} = \frac{-2i}{i^2} = \frac{-2i}{-1} = 2i \]
Таким образом, значение первого предела равно \(2i\).
Решение второго предела:
Предел \[ \lim_{z \to i} \frac{z^2 + iz + 2}{z - i} \]
Если подставить \(z = i\) в числитель, получим:
\[ i^2 + i \cdot i + 2 = -1 + i^2 + 2 = -1 - 1 + 2 = 0 \]
Если подставить \(z = i\) в знаменатель, получим:
\[ i - i = 0 \]
Мы имеем неопределенность вида \(\frac{0}{0}\). Можно использовать правило Лопиталя или разложить числитель на множители.
Способ 1: Правило Лопиталя
По правилу Лопиталя, если \(\lim_{z \to a} \frac{f(z)}{g(z)}\) имеет вид \(\frac{0}{0}\) или \(\frac{\infty}{\infty}\), то \(\lim_{z \to a} \frac{f(z)}{g(z)} = \lim_{z \to a} \frac{f'(z)}{g'(z)}\).
Здесь \(f(z) = z^2 + iz + 2\) и \(g(z) = z - i\).
Найдем производные:
\(f'(z) = \frac{d}{dz}(z^2 + iz + 2) = 2z + i\)
\(g'(z) = \frac{d}{dz}(z - i) = 1\)
Теперь вычислим предел:
\[ \lim_{z \to i} \frac{2z + i}{1} = 2i + i = 3i \]
Таким образом, значение второго предела равно \(3i\).
Способ 2: Разложение на множители
Мы знаем, что \(z = i\) является корнем числителя \(z^2 + iz + 2\). Значит, \(z - i\) является множителем числителя.
Разделим \(z^2 + iz + 2\) на \(z - i\).
Можно использовать деление многочленов или заметить, что \(z^2 + iz + 2 = z^2 - i^2z + 2 = z^2 - i^2z + 2\).
Давайте попробуем найти второй корень квадратного уравнения \(z^2 + iz + 2 = 0\).
Используем формулу для корней квадратного уравнения: \(z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\).
Здесь \(a=1\), \(b=i\), \(c=2\).
\(z = \frac{-i \pm \sqrt{i^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} = \frac{-i \pm \sqrt{-1 - 8}}{2} = \frac{-i \pm \sqrt{-9}}{2} = \frac{-i \pm 3i}{2}\)
Два корня:
\(z_1 = \frac{-i + 3i}{2} = \frac{2i}{2} = i\) (этот корень мы уже знали)
\(z_2 = \frac{-i - 3i}{2} = \frac{-4i}{2} = -2i\)
Значит, \(z^2 + iz + 2 = (z - i)(z - (-2i)) = (z - i)(z + 2i)\).
Теперь подставим это в предел:
\[ \lim_{z \to i} \frac{(z - i)(z + 2i)}{z - i} \]
Сократим \(z - i\):
\[ \lim_{z \to i} (z + 2i) = i + 2i = 3i \]
Таким образом, значение второго предела равно \(3i\).
Соответствие для Вопроса 12:
1. \[ \lim_{z \to i} \frac{z^2 + iz}{z} \] соответствует \(2i\).
2. \[ \lim_{z \to i} \frac{z^2 + iz + 2}{z - i} \] соответствует \(3i\).
Интеграл \[ \oint_{|z|=5} \frac{dz}{z^2 + 16} \]
Найдем особые точки подынтегральной функции, приравняв знаменатель к нулю:
\(z^2 + 16 = 0\)
\(z^2 = -16\)
\(z = \pm \sqrt{-16} = \pm 4i\)
Особые точки: \(z_1 = 4i\) и \(z_2 = -4i\).
Контур интегрирования - окружность \(|z|=5\).
Проверим, какие из особых точек лежат внутри контура:
Для \(z_1 = 4i\): \(|4i| = \sqrt{0^2 + 4^2} = \sqrt{16} = 4\). Поскольку \(4 < 5\), точка \(4i\) лежит внутри контура.
Для \(z_2 = -4i\): \(|-4i| = \sqrt{0^2 + (-4)^2} = \sqrt{16} = 4\). Поскольку \(4 < 5\), точка \(-4i\) лежит внутри контура.
Обе особые точки являются простыми полюсами и лежат внутри контура.
Используем теорему о вычетах:
\[ \oint_C f(z) dz = 2\pi i \sum \text{Res}(f, z_k) \]
где \(\text{Res}(f, z_k)\) - вычет функции \(f(z)\) в точке \(z_k\).
Для простого полюса \(z_k\), вычет вычисляется по формуле:
\[ \text{Res}(f, z_k) = \lim_{z \to z_k} (z - z_k) f(z) \]
Наша функция \(f(z) = \frac{1}{z^2 + 16} = \frac{1}{(z - 4i)(z + 4i)}\).
Вычет в точке \(z_1 = 4i\):
\[ \text{Res}(f, 4i) = \lim_{z \to 4i} (z - 4i) \frac{1}{(z - 4i)(z + 4i)} = \lim_{z \to 4i} \frac{1}{z + 4i} = \frac{1}{4i + 4i} = \frac{1}{8i} \]
Вычет в точке \(z_2 = -4i\):
\[ \text{Res}(f, -4i) = \lim_{z \to -4i} (z - (-4i)) \frac{1}{(z - 4i)(z + 4i)} = \lim_{z \to -4i} \frac{1}{z - 4i} = \frac{1}{-4i - 4i} = \frac{1}{-8i} \]
Сумма вычетов:
\[ \sum \text{Res}(f, z_k) = \frac{1}{8i} + \frac{1}{-8i} = \frac{1}{8i} - \frac{1}{8i} = 0 \]
Тогда интеграл равен:
\[ \oint_{|z|=5} \frac{dz}{z^2 + 16} = 2\pi i \cdot 0 = 0 \]
Таким образом, значение первого интеграла равно \(0\).
Решение второго интеграла:
Интеграл \[ \oint_{|z|=1} \frac{e^z}{z^2 + 2z} dz \]
Найдем особые точки подынтегральной функции:
\(z^2 + 2z = 0\)
\(z(z + 2) = 0\)
Особые точки: \(z_1 = 0\) и \(z_2 = -2\).
Контур интегрирования - окружность \(|z|=1\).
Проверим, какие из особых точек лежат внутри контура:
Для \(z_1 = 0\): \(|0| = 0\). Поскольку \(0 < 1\), точка \(0\) лежит внутри контура.
Для \(z_2 = -2\): \(|-2| = 2\). Поскольку \(2 > 1\), точка \(-2\) лежит вне контура.
Внутри контура находится только одна особая точка \(z_1 = 0\). Это простой полюс.
Функция \(f(z) = \frac{e^z}{z(z + 2)}\).
Вычислим вычет в точке \(z_1 = 0\):
\[ \text{Res}(f, 0) = \lim_{z \to 0} (z - 0) \frac{e^z}{z(z + 2)} = \lim_{z \to 0} \frac{e^z}{z + 2} = \frac{e^0}{0 + 2} = \frac{1}{2} \]
Теперь используем теорему о вычетах:
\[ \oint_{|z|=1} \frac{e^z}{z^2 + 2z} dz = 2\pi i \cdot \text{Res}(f, 0) = 2\pi i \cdot \frac{1}{2} = \pi i \]
Таким образом, значение второго интеграла равно \(\pi i\).
Соответствие для Вопроса 13:
1. \[ \oint_{|z|=5} \frac{dz}{z^2 + 16} \] соответствует \(0\).
2. \[ \oint_{|z|=1} \frac{e^z}{z^2 + 2z} dz \] соответствует \(\pi i\).
