Решение предела lim (z->-i) (z-1)/(z+1)

Хорошо, давайте продолжим решать задачи. Вопрос 12. Установите соответствие: Первый предел: \( \lim_{z \to -i} \frac{z-1}{z+1} \) Решение первого предела: Как мы уже решали ранее, эта функция является рациональной, и знаменатель не обращается в ноль при \( z = -i \). Подставим \( z = -i \) в выражение: \( \frac{-i-1}{-i+1} \) Умножим числитель и знаменатель на комплексно сопряженное к знаменателю, то есть на \( (1+i) \): \( \frac{(-1-i)}{(-i+1)} \cdot \frac{(1+i)}{(1+i)} = \frac{(-1-i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} \) Числитель: \( (-1-i)(1+i) = -1(1+i) - i(1+i) = -1 - i - i - i^2 = -1 - 2i - (-1) = -1 - 2i + 1 = -2i \) Знаменатель: \( (1-i)(1+i) = 1^2 - i^2 = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2 \) Таким образом, предел равен: \( \frac{-2i}{2} = -i \) Среди предложенных вариантов для этого предела есть \( -i \). Второй предел: \( \lim_{z \to i} \frac{2(z-1)}{z^2-2iz-3} \) Решение второго предела: Сначала подставим \( z=i \) в числитель: \( 2(i-1) \) Теперь подставим \( z=i \) в знаменатель: \( i^2 - 2i(i) - 3 = -1 - 2i^2 - 3 = -1 - 2(-1) - 3 = -1 + 2 - 3 = 1 - 3 = -2 \) Так как знаменатель не равен нулю, мы можем просто подставить \( z=i \) в функцию: \( \frac{2(i-1)}{-2} = -(i-1) = -i+1 = 1-i \) Соответствие для Вопроса 12: \( \lim_{z \to -i} \frac{z-1}{z+1} \) соответствует \( -i \) \( \lim_{z \to i} \frac{2(z-1)}{z^2-2iz-3} \) соответствует \( 1-i \) Вопрос 13. Установите соответствие: Найти модуль комплексного числа \( z = 4 + 3i \) Решение: Модуль комплексного числа \( z = a + bi \) обозначается как \( |z| \) и вычисляется по формуле: \( |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \) В данном случае \( a = 4 \) и \( b = 3 \). Подставим эти значения в формулу: \( |z| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \) Модуль комплексного числа \( z = 4 + 3i \) равен \( 5 \). Ответы для выбора: Для первого предела в Вопросе 12: \( -i \) Для второго предела в Вопросе 12: \( 1-i \) Для Вопроса 13: \( 5 \)