Вопрос 13
Установите соответствие: 1. Найти модуль комплексного числа \(z = 4 + 3i\) 2. Найти модуль комплексного числа \(z = 4 - 2\sqrt{5}i\)Решение первого пункта:
Модуль комплексного числа \(z = a + bi\) вычисляется по формуле: \[ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \] Для \(z = 4 + 3i\), у нас \(a = 4\) и \(b = 3\). Подставляем значения в формулу: \[ |z| = \sqrt{4^2 + 3^2} \] \[ |z| = \sqrt{16 + 9} \] \[ |z| = \sqrt{25} \] \[ |z| = 5 \]Решение второго пункта:
Для \(z = 4 - 2\sqrt{5}i\), у нас \(a = 4\) и \(b = -2\sqrt{5}\). Подставляем значения в формулу: \[ |z| = \sqrt{4^2 + (-2\sqrt{5})^2} \] \[ |z| = \sqrt{16 + (4 \cdot 5)} \] \[ |z| = \sqrt{16 + 20} \] \[ |z| = \sqrt{36} \] \[ |z| = 6 \]Соответствие для Вопроса 13:
* Найти модуль комплексного числа \(z = 4 + 3i\) соответствует \(5\). * Найти модуль комплексного числа \(z = 4 - 2\sqrt{5}i\) соответствует \(6\). На втором изображении показаны варианты ответов для первого пункта ("Найти модуль комплексного числа \(z = 4 + 3i\)"): "Выберите...", "7", "5", "6". Правильный ответ, как мы посчитали, это \(5\).Вопрос 14
Установите соответствие: 1. \[ \oint_{|z|=1} \frac{\sin iz}{z^2 - 4} dz \] 2. \[ \oint_{|z|=1} (z^2 + 3)e^z dz \]Решение первого интеграла:
\[ \oint_{|z|=1} \frac{\sin iz}{z^2 - 4} dz \] Это интеграл по замкнутому контуру в комплексной плоскости. Контур \(|z|=1\) - это окружность с центром в начале координат и радиусом 1. Для вычисления таких интегралов используется интегральная формула Коши или теорема о вычетах. Сначала найдем особые точки подынтегральной функции. Знаменатель \(z^2 - 4 = (z - 2)(z + 2)\) обращается в ноль при \(z = 2\) и \(z = -2\). Обе эти особые точки \(z=2\) и \(z=-2\) находятся вне контура \(|z|=1\), так как \(|2|=2 > 1\) и \(|-2|=2 > 1\). Функция \(f(z) = \frac{\sin iz}{z^2 - 4}\) является аналитической внутри и на контуре \(|z|=1\). Согласно интегральной теореме Коши, если функция аналитична внутри и на замкнутом контуре, то интеграл по этому контуру равен нулю. Следовательно: \[ \oint_{|z|=1} \frac{\sin iz}{z^2 - 4} dz = 0 \]Решение второго интеграла:
\[ \oint_{|z|=1} (z^2 + 3)e^z dz \] Подынтегральная функция \(f(z) = (z^2 + 3)e^z\) является целой функцией, то есть она аналитична во всей комплексной плоскости. Так как функция аналитична внутри и на контуре \(|z|=1\), согласно интегральной теореме Коши, интеграл по этому контуру равен нулю. Следовательно: \[ \oint_{|z|=1} (z^2 + 3)e^z dz = 0 \]Соответствие для Вопроса 14:
* \[ \oint_{|z|=1} \frac{\sin iz}{z^2 - 4} dz \] соответствует \(0\). * \[ \oint_{|z|=1} (z^2 + 3)e^z dz \] соответствует \(0\). На изображении нет вариантов ответов для этого вопроса, но если бы они были, я бы выбрал \(0\) для обоих.Итог для школьника:
Вопрос 13
Установите соответствие: 1. Найти модуль комплексного числа \(z = 4 + 3i\) Решение: \[ |z| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \] Ответ: \(5\) 2. Найти модуль комплексного числа \(z = 4 - 2\sqrt{5}i\) Решение: \[ |z| = \sqrt{4^2 + (-2\sqrt{5})^2} = \sqrt{16 + (4 \cdot 5)} = \sqrt{16 + 20} = \sqrt{36} = 6 \] Ответ: \(6\)Выбор из вариантов: Для первого пункта ("Найти модуль комплексного числа \(z = 4 + 3i\)") из предложенных вариантов "7", "5", "6" нужно выбрать 5.