Вопрос 13
Установите соответствие: 1. Найти модуль комплексного числа \(z = 4 + 3i\) 2. Найти модуль комплексного числа \(z = 4 - 2\sqrt{5}i\)Решение первого пункта:
Модуль комплексного числа \(z = a + bi\) вычисляется по формуле: \[ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \] Для \(z = 4 + 3i\), у нас \(a = 4\) и \(b = 3\). Подставляем значения в формулу: \[ |z| = \sqrt{4^2 + 3^2} \] \[ |z| = \sqrt{16 + 9} \] \[ |z| = \sqrt{25} \] \[ |z| = 5 \]Решение второго пункта:
Для \(z = 4 - 2\sqrt{5}i\), у нас \(a = 4\) и \(b = -2\sqrt{5}\). Подставляем значения в формулу: \[ |z| = \sqrt{4^2 + (-2\sqrt{5})^2} \] \[ |z| = \sqrt{16 + (4 \cdot 5)} \] \[ |z| = \sqrt{16 + 20} \] \[ |z| = \sqrt{36} \] \[ |z| = 6 \]Соответствие для Вопроса 13:
* Найти модуль комплексного числа \(z = 4 + 3i\) соответствует \(5\). * Найти модуль комплексного числа \(z = 4 - 2\sqrt{5}i\) соответствует \(6\). На втором изображении показаны варианты ответов для первого пункта ("Найти модуль комплексного числа \(z = 4 + 3i\)"): "Выберите...", "7", "5", "6". Правильный ответ, как мы посчитали, это \(5\).Выбор: Для первого пункта нужно выбрать 5.
Вопрос 14
Установите соответствие: 1. \[ \oint_{|z|=1} \frac{\sin iz}{z^2 - 4} dz \] 2. \[ \oint_{|z|=2} \frac{(z^2 + 3)e^z}{z} dz \]Решение первого интеграла:
\[ \oint_{|z|=1} \frac{\sin iz}{z^2 - 4} dz \] Контур интегрирования \(|z|=1\) - это окружность с центром в начале координат и радиусом 1. Особые точки подынтегральной функции \(f(z) = \frac{\sin iz}{z^2 - 4}\) определяются из знаменателя \(z^2 - 4 = 0\), то есть \(z^2 = 4\), откуда \(z = 2\) и \(z = -2\). Обе эти особые точки \(z=2\) и \(z=-2\) находятся вне контура \(|z|=1\), так как \(|2|=2 > 1\) и \(|-2|=2 > 1\). Функция \(f(z) = \frac{\sin iz}{z^2 - 4}\) является аналитической внутри и на контуре \(|z|=1\). Согласно интегральной теореме Коши, если функция аналитична внутри и на замкнутом контуре, то интеграл по этому контуру равен нулю. Следовательно: \[ \oint_{|z|=1} \frac{\sin iz}{z^2 - 4} dz = 0 \]Решение второго интеграла:
\[ \oint_{|z|=2} \frac{(z^2 + 3)e^z}{z} dz \] Контур интегрирования \(|z|=2\) - это окружность с центром в начале координат и радиусом 2. Особая точка подынтегральной функции \(f(z) = \frac{(z^2 + 3)e^z}{z}\) определяется из знаменателя \(z = 0\). Эта особая точка \(z=0\) находится внутри контура \(|z|=2\), так как \(|0|=0 < 2\). Мы можем использовать интегральную формулу Коши для производных. В данном случае, это интегральная формула Коши для функции: \[ \oint_C \frac{f(z)}{z - z_0} dz = 2\pi i f(z_0) \] Здесь \(f(z) = (z^2 + 3)e^z\) и \(z_0 = 0\). Функция \(f(z) = (z^2 + 3)e^z\) является аналитической внутри и на контуре \(|z|=2\). Подставляем \(z_0 = 0\) в \(f(z)\): \[ f(0) = (0^2 + 3)e^0 = (0 + 3) \cdot 1 = 3 \] Тогда интеграл равен: \[ \oint_{|z|=2} \frac{(z^2 + 3)e^z}{z} dz = 2\pi i \cdot f(0) = 2\pi i \cdot 3 = 6\pi i \]Соответствие для Вопроса 14:
* \[ \oint_{|z|=1} \frac{\sin iz}{z^2 - 4} dz \] соответствует \(0\). * \[ \oint_{|z|=2} \frac{(z^2 + 3)e^z}{z} dz \] соответствует \(6\pi i\). На втором изображении показаны варианты ответов для первого пункта ("\[ \oint_{|z|=1} \frac{\sin iz}{z^2 - 4} dz \]"): "Выберите...", "6pi*i", "1/2", "0". Правильный ответ, как мы посчитали, это \(0\).Выбор: Для первого пункта нужно выбрать 0.
Вопрос 15
На изображении видна только часть вопроса "Установите соответствие:", а также начало выражения "-2 -(-1) ^ 2". Полный текст вопроса и варианты ответов не видны. Поэтому решить его невозможно.Итог для школьника:
Вопрос 13
Установите соответствие: 1. Найти модуль комплексного числа \(z = 4 + 3i\) Решение: \[ |z| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \] Ответ: \(5\)Выбор из вариантов: Для этого пункта нужно выбрать 5.
2. Найти модуль комплексного числа \(z = 4 - 2\sqrt{5}i\) Решение: \[ |z| = \sqrt{4^2 + (-2\sqrt{5})^2} = \sqrt{16 + (4 \cdot 5)} = \sqrt{16 + 20} = \sqrt{36} = 6 \] Ответ: \(6\)Выбор из вариантов: Варианты для этого пункта не видны, но ответ 6.
Вопрос 14
Установите соответствие: 1. Интеграл: \[ \oint_{|z|=1} \frac{\sin iz}{z^2 - 4} dz \] Решение: Особые точки функции \(f(z) = \frac{\sin iz}{z^2 - 4}\) это \(z = 2\) и \(z = -2\). Обе эти точки находятся вне контура интегрирования \(|z|=1\). Так как функция аналитична внутри и на контуре, по интегральной теореме Коши, значение интеграла равно \(0\). Ответ: \(0\)Выбор из вариантов: Для этого пункта нужно выбрать 0.
2. Интеграл: \[ \oint_{|z|=2} \frac{(z^2 + 3)e^z}{z} dz \] Решение: Особая точка функции \(f(z) = \frac{(z^2 + 3)e^z}{z}\) это \(z = 0\). Эта точка находится внутри контура интегрирования \(|z|=2\). Используем интегральную формулу Коши: \(\oint_C \frac{f(z)}{z - z_0} dz = 2\pi i f(z_0)\). Здесь \(f(z) = (z^2 + 3)e^z\) и \(z_0 = 0\). \(f(0) = (0^2 + 3)e^0 = 3 \cdot 1 = 3\). Значение интеграла: \(2\pi i \cdot 3 = 6\pi i\). Ответ: \(6\pi i\)Выбор из вариантов: Варианты для этого пункта не видны, но ответ 6\(\pi\)i.
Вопрос 15
Полный текст вопроса и варианты ответов не видны на изображении, поэтому решить его невозможно.