Надо выбрать какой из них! Вопрос 15 надо выбрать какой из них!
Нажмите для увеличения
lightbulb
Краткий ответ
Задача 15 требует вычисления предела комплексной функции. Решение включает разложение числителя на множители и упрощение выражения для нахождения предела.
Обозначим \(z_0 = 1-i\).
Заметим, что при подстановке \(z = 1-i\) в числитель, он обращается в ноль:
\((1-i)^2 - (1-i)(1-2i) - 1 - i\)
\(= (1 - 2i + i^2) - (1 - 2i - i + 2i^2) - 1 - i\)
\(= (1 - 2i - 1) - (1 - 3i - 2) - 1 - i\)
\(= -2i - (-1 - 3i) - 1 - i\)
\(= -2i + 1 + 3i - 1 - i\)
\(= (1-1) + (-2+3-1)i = 0 + 0i = 0\)
Таким образом, мы имеем неопределенность вида \(\frac{0}{0}\).
Можно применить правило Лопиталя для комплексных функций или разложить числитель на множители.
Давайте попробуем разложить числитель. Если \(z_0 = 1-i\) является корнем числителя, то числитель делится на \((z - z_0)\).
Пусть \(P(z) = z^2 - z(1-2i) - 1 - i\).
Мы знаем, что \(P(z_0) = 0\).
Мы можем использовать деление многочленов или заметить, что это квадратный трехчлен вида \(az^2+bz+c\).
Корни квадратного уравнения \(z^2 + Az + B = 0\) можно найти по формуле.
В нашем случае \(A = -(1-2i)\) и \(B = -(1+i)\).
Если \(z_0\) является корнем, то \(P(z) = (z - z_0)(z - z_1)\).
Тогда \(z_0 z_1 = -(1+i)\) и \(z_0 + z_1 = 1-2i\).
Из \(z_0 + z_1 = 1-2i\), получаем \(z_1 = (1-2i) - z_0 = (1-2i) - (1-i) = 1-2i-1+i = -i\).
Проверим: \(z_0 z_1 = (1-i)(-i) = -i + i^2 = -i - 1 = -(1+i)\). Это верно.
Значит, числитель можно записать как \((z - (1-i))(z - (-i))\).
Тогда предел будет:
\[\lim_{z \to 1-i} \frac{(z - (1-i))(z - (-i))}{z - (1-i)} = \lim_{z \to 1-i} (z - (-i)) = \lim_{z \to 1-i} (z + i)\]
Подставляем \(z = 1-i\):
\[(1-i) + i = 1\]
Таким образом, значение предела равно 1.
2. Интеграл \(\int_0^\pi \frac{\sin z}{2} dz\)
Это обычный определенный интеграл от вещественной функции.
\[\int_0^\pi \frac{\sin z}{2} dz = \frac{1}{2} \int_0^\pi \sin z dz\]
Найдем первообразную для \(\sin z\), это \(-\cos z\).
\[\frac{1}{2} [-\cos z]_0^\pi = \frac{1}{2} (-\cos \pi - (-\cos 0))\]
\[= \frac{1}{2} (-(-1) - (-1)) = \frac{1}{2} (1 + 1) = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1\]
Таким образом, значение интеграла равно 1.
Выводы для выбора ответов:
Для блока "Вопрос 15: Установите соответствие:":
* Предел \(\lim_{z \to 1-i} \frac{z^2 - z(1-2i) - 1 - i}{z - (1-i)}\) -> **1**
* Интеграл \(\int_0^\pi \frac{\sin z}{2} dz\) -> **1**
На основе предоставленного изображения с вариантами ответов для Вопроса 15, где есть "0", "2", "1", мы выбираем "1".
Таким образом, ответы будут:
* Для предела: **1**
* Для интеграла: **1**
