Решение задачи: мнимая часть и степень (-i)

Хорошо, давайте ответим на вопросы 18 и 19.

Вопрос 18:

Число \(y = Im \, z\) называется __________ частью комплексного числа \(z\).

Комплексное число \(z\) обычно записывается в виде \(z = x + iy\), где \(x\) - это действительная часть, а \(y\) - это мнимая часть. Обозначение \(Re \, z\) используется для действительной части, а \(Im \, z\) - для мнимой части. Таким образом, \(y = Im \, z\) называется мнимой частью комплексного числа \(z\). Ответ: **мнимой**

Вопрос 19:

Вычислить \((-i)^{21}\)

Для вычисления степени мнимой единицы \((-i)\) в степени 21, вспомним степени \(i\): \(i^1 = i\) \(i^2 = -1\) \(i^3 = -i\) \(i^4 = 1\) Степени \(i\) повторяются с циклом 4. Сначала вычислим \((-i)^{21}\): \((-i)^{21} = (-1)^{21} \cdot i^{21}\) Поскольку 21 - нечетное число, \((-1)^{21} = -1\). Теперь вычислим \(i^{21}\). Для этого разделим 21 на 4 и найдем остаток: \(21 \div 4 = 5\) с остатком \(1\). Значит, \(i^{21} = i^{4 \cdot 5 + 1} = (i^4)^5 \cdot i^1 = 1^5 \cdot i = 1 \cdot i = i\). Теперь подставим это обратно: \((-i)^{21} = -1 \cdot i^{21} = -1 \cdot i = -i\) Ответ: **-i**