Решение задач с комплексными числами: умножение и аргумент

Хорошо, давайте решим задачи из Вопросов 20 и 21.

Вопрос 20:

Выполнить умножение комплексных чисел \(z_1 = 1 + 3i\) и \(z_2 = 2 - 2i\). Ответ записать в виде \(x + yi\).

Для умножения двух комплексных чисел \(z_1 = a + bi\) и \(z_2 = c + di\) используется правило: \(z_1 \cdot z_2 = (a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bdi^2\) Помним, что \(i^2 = -1\). \(z_1 \cdot z_2 = ac + adi + bci - bd = (ac - bd) + (ad + bc)i\) В нашем случае \(z_1 = 1 + 3i\) и \(z_2 = 2 - 2i\). Здесь \(a = 1\), \(b = 3\), \(c = 2\), \(d = -2\). Подставляем значения: Действительная часть: \(ac - bd = (1)(2) - (3)(-2) = 2 - (-6) = 2 + 6 = 8\) Мнимая часть: \(ad + bc = (1)(-2) + (3)(2) = -2 + 6 = 4\) Таким образом, произведение \(z_1 \cdot z_2 = 8 + 4i\). Ответ: **8+4i**

Вопрос 21:

Найти (в градусах) аргумент комплексного числа \(z = 3i\).

Комплексное число \(z = 3i\) можно записать как \(z = 0 + 3i\). Здесь действительная часть \(x = 0\), а мнимая часть \(y = 3\). Это число лежит на положительной части мнимой оси в комплексной плоскости. Аргумент комплексного числа \(\arg(z)\) - это угол, который образует вектор, идущий из начала координат к точке, соответствующей комплексному числу, с положительным направлением действительной оси. Для числа \(z = 3i\): Модуль \(|z| = \sqrt{0^2 + 3^2} = \sqrt{9} = 3\). Угол \(\theta\) можно найти из соотношений: \(\cos \theta = \frac{x}{|z|} = \frac{0}{3} = 0\) \(\sin \theta = \frac{y}{|z|} = \frac{3}{3} = 1\) Единственный угол \(\theta\) в интервале \([0, 2\pi)\) (или \([0^\circ, 360^\circ)\)), для которого \(\cos \theta = 0\) и \(\sin \theta = 1\), это \(\theta = \frac{\pi}{2}\) радиан. В градусах это \(90^\circ\). Ответ: **90**