Решение задачи 3: Нахождение TK

Вот решение задачи номер 3: Задача 3. Отрезки \(ND\) и \(PK\) лежат на параллельных прямых, а отрезки \(NK\) и \(DP\) пересекаются в точке \(T\). Найдите \(TK\), если \(ND = 13\), \(KP = 52\), \(NK = 65\). Решение: 1. Нарисуем схему, чтобы лучше понять условие задачи. У нас есть две параллельные прямые, на которых лежат отрезки \(ND\) и \(PK\). Отрезки \(NK\) и \(DP\) пересекаются в точке \(T\). 2. Поскольку прямые, на которых лежат отрезки \(ND\) и \(PK\), параллельны, то треугольники \(NDT\) и \(PKT\) подобны. Это следует из того, что: * Углы \(\angle NDT\) и \(\angle KPT\) равны как накрест лежащие углы при параллельных прямых \(ND\) и \(PK\) и секущей \(DP\). * Углы \(\angle DNT\) и \(\angle PKT\) равны как накрест лежащие углы при параллельных прямых \(ND\) и \(PK\) и секущей \(NK\). * Углы \(\angle NTD\) и \(\angle KTP\) равны как вертикальные углы. 3. Из подобия треугольников \(NDT\) и \(PKT\) следует, что отношения соответствующих сторон равны: \[ \frac{ND}{PK} = \frac{NT}{TK} = \frac{DT}{TP} \] 4. Подставим известные значения: \(ND = 13\), \(KP = 52\). \[ \frac{13}{52} = \frac{NT}{TK} \] 5. Упростим дробь: \[ \frac{1}{4} = \frac{NT}{TK} \] Это означает, что \(TK = 4 \cdot NT\). 6. Нам также известно, что \(NK = 65\). Отрезок \(NK\) состоит из двух частей: \(NT\) и \(TK\). Значит, \(NK = NT + TK\). Подставим значение \(NK\): \[ 65 = NT + TK \] 7. Теперь у нас есть система из двух уравнений: 1) \(TK = 4 \cdot NT\) 2) \(65 = NT + TK\) 8. Подставим выражение для \(TK\) из первого уравнения во второе: \[ 65 = NT + (4 \cdot NT) \] \[ 65 = 5 \cdot NT \] 9. Найдем \(NT\): \[ NT = \frac{65}{5} \] \[ NT = 13 \] 10. Теперь, зная \(NT\), найдем \(TK\) с помощью первого уравнения: \[ TK = 4 \cdot NT \] \[ TK = 4 \cdot 13 \] \[ TK = 52 \] Ответ: \(TK = 52\).