Задача: Исчисление общего индекса цен
Дано:
- Продано головных уборов на сумму: 2 млн. руб.
- Продано меховых изделий на сумму: 15 млн. руб.
- Продано галантереи на сумму: 1 млн. руб.
- Цены на головные уборы снижены на: 15%
- Цены на меховые изделия снижены на: 2%
- Цены на галантерею снижены на: 8%
Найти: Общий индекс цен на эти товары.
Решение:
Для исчисления общего индекса цен нам понадобится формула агрегатного индекса цен Ласпейреса или Пааше, но в данном случае удобнее использовать формулу индекса цен, взвешенного по стоимости товаров отчетного периода (индекс Пааше), так как у нас есть данные о стоимости товаров в отчетном периоде и процентные изменения цен.
Формула общего индекса цен (агрегатный индекс цен Пааше) выглядит так:
\[I_p = \frac{\sum p_1 q_1}{\sum p_0 q_1}\]Где:
- \(p_1\) — цена товара в отчетном периоде.
- \(p_0\) — цена товара в базисном периоде.
- \(q_1\) — количество товара в отчетном периоде.
- \(\sum p_1 q_1\) — общая стоимость товаров в отчетном периоде (дана в условии).
- \(\sum p_0 q_1\) — общая стоимость товаров в базисном периоде, пересчитанная на объем отчетного периода.
Нам даны суммы продаж в отчетном году (\(p_1 q_1\)) и процент снижения цен. Мы можем выразить \(p_0\) через \(p_1\) и процент снижения.
Если цена снизилась на X%, то \(p_1 = p_0 \times (1 - \frac{X}{100})\). Отсюда \(p_0 = \frac{p_1}{1 - \frac{X}{100}}\).
Шаг 1. Определим стоимость товаров в базисном периоде, пересчитанную на объем отчетного периода (\(p_0 q_1\)) для каждого вида товара.
Для головных уборов:
- Стоимость в отчетном году (\(p_1 q_1\)): 2 млн. руб.
- Снижение цен: 15%. Значит, \(p_1 = p_0 \times (1 - 0,15) = p_0 \times 0,85\).
- Тогда \(p_0 q_1 = \frac{p_1 q_1}{0,85} = \frac{2 \text{ млн. руб.}}{0,85} \approx 2,3529 \text{ млн. руб.}\)
Для меховых изделий:
- Стоимость в отчетном году (\(p_1 q_1\)): 15 млн. руб.
- Снижение цен: 2%. Значит, \(p_1 = p_0 \times (1 - 0,02) = p_0 \times 0,98\).
- Тогда \(p_0 q_1 = \frac{p_1 q_1}{0,98} = \frac{15 \text{ млн. руб.}}{0,98} \approx 15,3061 \text{ млн. руб.}\)
Для галантереи:
- Стоимость в отчетном году (\(p_1 q_1\)): 1 млн. руб.
- Снижение цен: 8%. Значит, \(p_1 = p_0 \times (1 - 0,08) = p_0 \times 0,92\).
- Тогда \(p_0 q_1 = \frac{p_1 q_1}{0,92} = \frac{1 \text{ млн. руб.}}{0,92} \approx 1,0870 \text{ млн. руб.}\)
Шаг 2. Рассчитаем общую стоимость товаров в отчетном периоде (\(\sum p_1 q_1\)).
\[\sum p_1 q_1 = 2 \text{ млн. руб.} + 15 \text{ млн. руб.} + 1 \text{ млн. руб.} = 18 \text{ млн. руб.}\]Шаг 3. Рассчитаем общую стоимость товаров в базисном периоде, пересчитанную на объем отчетного периода (\(\sum p_0 q_1\)).
\[\sum p_0 q_1 = 2,3529 + 15,3061 + 1,0870 = 18,7460 \text{ млн. руб.}\]Шаг 4. Исчислим общий индекс цен.
\[I_p = \frac{\sum p_1 q_1}{\sum p_0 q_1}\] \[I_p = \frac{18 \text{ млн. руб.}}{18,7460 \text{ млн. руб.}} \approx 0,9602\]Чтобы выразить индекс в процентах, умножим на 100%:
\[I_p = 0,9602 \times 100\% = 96,02\%\]Ответ:
Общий индекс цен на эти товары составил примерно 0,9602 или 96,02%.
Вывод:
Общий индекс цен, равный 96,02%, показывает, что в отчетном году цены на всю совокупность этих товаров в среднем снизились на \(100\% - 96,02\% = 3,98\%\) по сравнению с базисным периодом.