Задача: Исчисление общего индекса цен
Дано:
- Стоимость проданных головных уборов в отчетном году (\(S_1^{\text{головные}}\)): 2 млн. руб.
- Стоимость проданных меховых изделий в отчетном году (\(S_1^{\text{меховые}}\)): 15 млн. руб.
- Стоимость проданной галантереи в отчетном году (\(S_1^{\text{галантерея}}\)): 1 млн. руб.
- Снижение цен на головные уборы: 15%
- Снижение цен на меховые изделия: 2%
- Снижение цен на галантерею: 8%
Найти: Общий индекс цен на эти товары.
Решение:
Общий индекс цен (агрегатный индекс цен Пааше) рассчитывается по формуле:
\[I_p = \frac{\sum p_1 q_1}{\sum p_0 q_1}\]Где:
- \(\sum p_1 q_1\) — общая стоимость товаров в отчетном периоде (фактическая стоимость продаж).
- \(\sum p_0 q_1\) — общая стоимость товаров в базисном периоде, пересчитанная на объем отчетного периода (стоимость, которая была бы, если бы цены не изменились, а объем продаж остался прежним).
Нам известна стоимость товаров в отчетном периоде (\(p_1 q_1\)) для каждого вида товара. Также известно процентное снижение цен. Мы можем найти стоимость товаров в базисном периоде, пересчитанную на объем отчетного периода (\(p_0 q_1\)), используя эти данные.
Если цена снизилась на X%, это означает, что цена в отчетном периоде (\(p_1\)) составляет \((100 - X)\%\) от цены в базисном периоде (\(p_0\)).
То есть, \(p_1 = p_0 \times (1 - \frac{X}{100})\).
Отсюда, \(p_0 = \frac{p_1}{1 - \frac{X}{100}}\).
Следовательно, \(p_0 q_1 = \frac{p_1 q_1}{1 - \frac{X}{100}}\).
Шаг 1. Рассчитаем общую стоимость товаров в отчетном периоде (\(\sum p_1 q_1\)).
Это сумма всех продаж в отчетном году:
\[\sum p_1 q_1 = S_1^{\text{головные}} + S_1^{\text{меховые}} + S_1^{\text{галантерея}}\] \[\sum p_1 q_1 = 2 \text{ млн. руб.} + 15 \text{ млн. руб.} + 1 \text{ млн. руб.} = 18 \text{ млн. руб.}\]Шаг 2. Рассчитаем стоимость товаров в базисном периоде, пересчитанную на объем отчетного периода (\(p_0 q_1\)), для каждого вида товара.
Для головных уборов:
- Снижение цен: 15%. Коэффициент изменения цены: \(1 - 0,15 = 0,85\).
- Стоимость в базисном периоде при объеме отчетного: \(p_0^{\text{головные}} q_1^{\text{головные}} = \frac{S_1^{\text{головные}}}{0,85}\)
- \(p_0^{\text{головные}} q_1^{\text{головные}} = \frac{2 \text{ млн. руб.}}{0,85} \approx 2,352941 \text{ млн. руб.}\)
Для меховых изделий:
- Снижение цен: 2%. Коэффициент изменения цены: \(1 - 0,02 = 0,98\).
- Стоимость в базисном периоде при объеме отчетного: \(p_0^{\text{меховые}} q_1^{\text{меховые}} = \frac{S_1^{\text{меховые}}}{0,98}\)
- \(p_0^{\text{меховые}} q_1^{\text{меховые}} = \frac{15 \text{ млн. руб.}}{0,98} \approx 15,306122 \text{ млн. руб.}\)
Для галантереи:
- Снижение цен: 8%. Коэффициент изменения цены: \(1 - 0,08 = 0,92\).
- Стоимость в базисном периоде при объеме отчетного: \(p_0^{\text{галантерея}} q_1^{\text{галантерея}} = \frac{S_1^{\text{галантерея}}}{0,92}\)
- \(p_0^{\text{галантерея}} q_1^{\text{галантерея}} = \frac{1 \text{ млн. руб.}}{0,92} \approx 1,086957 \text{ млн. руб.}\)
Шаг 3. Рассчитаем общую стоимость товаров в базисном периоде, пересчитанную на объем отчетного периода (\(\sum p_0 q_1\)).
Это сумма рассчитанных значений для каждого вида товара:
\[\sum p_0 q_1 = 2,352941 + 15,306122 + 1,086957 \approx 18,746020 \text{ млн. руб.}\]Шаг 4. Исчислим общий индекс цен.
\[I_p = \frac{\sum p_1 q_1}{\sum p_0 q_1}\] \[I_p = \frac{18 \text{ млн. руб.}}{18,746020 \text{ млн. руб.}} \approx 0,960204\]Чтобы выразить индекс в процентах, умножим на 100%:
\[I_p = 0,960204 \times 100\% \approx 96,02\%\]Ответ:
Общий индекс цен на эти товары составил примерно 0,9602 или 96,02%.
Вывод:
Общий индекс цен, равный 96,02%, показывает, что в отчетном году цены на всю совокупность этих товаров в среднем снизились на \(100\% - 96,02\% = 3,98\%\) по сравнению с базисным периодом.