Решение задач по геометрии: ответы на вопросы

Хорошо, вот ответы на вопросы по геометрии, оформленные так, чтобы было удобно переписать в тетрадь. Вопросы для повторения к главе VII 1. Расскажите, как измеряются площади многоугольников. Площадь многоугольника измеряется с помощью единичного квадрата. За единицу измерения площади принимают площадь квадрата, сторона которого равна единице измерения отрезков (например, 1 см, 1 м). Площадь многоугольника показывает, сколько таких единичных квадратов содержится в данном многоугольнике. 2. Сформулируйте основные свойства площадей многоугольников. Основные свойства площадей многоугольников: 1. Каждый многоугольник имеет определённую площадь, выраженную положительным числом. 2. Равные многоугольники имеют равные площади. 3. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников. 4. Площадь квадрата со стороной, равной единице измерения, равна единице. 3. Какие многоугольники называются равновеликими и какие равносоставленными? Равновеликие многоугольники – это многоугольники, имеющие равные площади. Равносоставленные многоугольники – это многоугольники, которые можно разрезать на одинаковое число попарно равных многоугольников. Равносоставленные многоугольники всегда равновелики. 4. Сформулируйте и докажите теорему о вычислении площади прямоугольника. Теорема: Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон. Дано: Прямоугольник со сторонами \(a\) и \(b\). Доказать: \(S = a \cdot b\). Доказательство: 1. Рассмотрим прямоугольник со сторонами \(a\) и \(b\). 2. Если \(a\) и \(b\) – целые числа, то прямоугольник можно разбить на \(a \cdot b\) единичных квадратов. Площадь каждого единичного квадрата равна 1. Следовательно, площадь прямоугольника равна \(a \cdot b\). 3. Если \(a\) и \(b\) – рациональные числа, то их можно представить в виде дробей с общим знаменателем. Тогда прямоугольник можно разбить на меньшие квадраты, и рассуждения будут аналогичны. 4. Для произвольных \(a\) и \(b\) (в том числе и иррациональных) теорема доказывается с помощью предельного перехода или аксиоматического определения площади. Таким образом, площадь прямоугольника \(S = a \cdot b\). 5. Сформулируйте и докажите теорему о вычислении площади параллелограмма. Теорема: Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведённую к этой стороне. Дано: Параллелограмм ABCD со стороной AD и высотой BH, опущенной на AD. Доказать: \(S_{ABCD} = AD \cdot BH\). Доказательство: 1. Проведём высоту CK из вершины C к прямой AD. 2. Рассмотрим треугольник ABH и треугольник DCK. 3. Эти треугольники равны по гипотенузе и острому углу (AB = DC как противоположные стороны параллелограмма, \(\angle A = \angle D\) как углы при основании параллелограмма, \(\angle AHB = \angle DKC = 90^\circ\)). 4. Площадь параллелограмма ABCD можно представить как сумму площадей трапеции HBCK и треугольника ABH: \(S_{ABCD} = S_{HBCK} + S_{ABH}\). 5. Также площадь прямоугольника HBCK можно представить как сумму площадей трапеции HBCK и треугольника DCK: \(S_{HBCK} = S_{HBCK} + S_{DCK}\). 6. Так как \(S_{ABH} = S_{DCK}\), то \(S_{ABCD} = S_{HBCK} + S_{ABH} = S_{HBCK} + S_{DCK}\). 7. Таким образом, площадь параллелограмма ABCD равна площади прямоугольника HBCK. 8. Площадь прямоугольника HBCK равна \(BC \cdot BH\). Так как \(BC = AD\) (противоположные стороны параллелограмма), то \(S_{ABCD} = AD \cdot BH\). Теорема доказана. 6. Сформулируйте и докажите теорему о вычислении площади треугольника. Как вычислить площадь прямоугольного треугольника по его катетам? Теорема: Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведённую к этой стороне. Дано: Треугольник ABC со стороной AC и высотой BH, опущенной на AC. Доказать: \(S_{ABC} = \frac{1}{2} AC \cdot BH\). Доказательство: 1. Достроим треугольник ABC до параллелограмма ABCD, проведя через B прямую, параллельную AC, и через C прямую, параллельную AB. 2. Диагональ BC делит параллелограмм ABCD на два равных треугольника: ABC и DCB. 3. Следовательно, \(S_{ABC} = S_{DCB}\), и \(S_{ABCD} = 2 \cdot S_{ABC}\). 4. Площадь параллелограмма ABCD равна произведению стороны AC на высоту BH, проведённую к этой стороне: \(S_{ABCD} = AC \cdot BH\). 5. Из этого следует, что \(2 \cdot S_{ABC} = AC \cdot BH\). 6. Разделив обе части на 2, получаем: \(S_{ABC} = \frac{1}{2} AC \cdot BH\). Теорема доказана. Вычисление площади прямоугольного треугольника по его катетам: Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Пусть катеты прямоугольного треугольника равны \(a\) и \(b\). Один катет можно считать основанием, а другой – высотой, проведённой к этому основанию. Тогда \(S = \frac{1}{2} a \cdot b\). 7. Сформулируйте и докажите теорему об отношении площадей двух треугольников, имеющих по равному углу. Теорема: Отношение площадей двух треугольников, имеющих по равному углу, равно отношению произведений сторон, заключающих этот угол. Дано: Треугольники ABC и \(A_1B_1C_1\), у которых \(\angle A = \angle A_1\). Доказать: \(\frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} = \frac{AB \cdot AC}{A_1B_1 \cdot A_1C_1}\). Доказательство: 1. Площадь треугольника ABC можно найти по формуле \(S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin A\). 2. Площадь треугольника \(A_1B_1C_1\) можно найти по формуле \(S_{A_1B_1C_1} = \frac{1}{2} A_1B_1 \cdot A_1C_1 \cdot \sin A_1\). 3. Так как \(\angle A = \angle A_1\), то \(\sin A = \sin A_1\). 4. Разделим площадь первого треугольника на площадь второго: \[ \frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} = \frac{\frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin A}{\frac{1}{2} A_1B_1 \cdot A_1C_1 \cdot \sin A_1} \] 5. Сокращая \(\frac{1}{2}\) и \(\sin A\) (так как \(\sin A = \sin A_1\)), получаем: \[ \frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} = \frac{AB \cdot AC}{A_1B_1 \cdot A_1C_1} \] Теорема доказана. 8. Сформулируйте и докажите теорему о вычислении площади трапеции. Теорема: Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту. Дано: Трапеция ABCD с основаниями AD и BC, и высотой h. Доказать: \(S_{ABCD} = \frac{AD + BC}{2} \cdot h\). Доказательство: 1. Проведём диагональ BD, которая разделит трапецию на два треугольника: ABD и BCD. 2. Площадь трапеции равна сумме площадей этих двух треугольников: \(S_{ABCD} = S_{ABD} + S_{BCD}\). 3. Высота трапеции h является также высотой для треугольника ABD, опущенной на основание AD. \(S_{ABD} = \frac{1}{2} AD \cdot h\). 4. Высота трапеции h является также высотой для треугольника BCD, опущенной на основание BC (если провести высоту из D к BC или из B к AD, то она будет равна h). \(S_{BCD} = \frac{1}{2} BC \cdot h\). 5. Сложим площади треугольников: \[ S_{ABCD} = \frac{1}{2} AD \cdot h + \frac{1}{2} BC \cdot h \] 6. Вынесем \(\frac{1}{2} h\) за скобки: \[ S_{ABCD} = \frac{1}{2} h (AD + BC) \] или \[ S_{ABCD} = \frac{AD + BC}{2} \cdot h \] Теорема доказана. 9. Сформулируйте и докажите теорему Пифагора. Теорема Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Дано: Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Катеты AC = \(a\), BC = \(b\), гипотенуза AB = \(c\). Доказать: \(a^2 + b^2 = c^2\). Доказательство (через площади): 1. Построим квадрат со стороной \((a+b)\). 2. Внутри этого квадрата построим ещё один квадрат, повернутый на 45 градусов, так, чтобы его вершины лежали на сторонах большого квадрата, а его сторона была равна гипотенузе \(c\). 3. Таким образом, большой квадрат со стороной \((a+b)\) будет состоять из внутреннего квадрата со стороной \(c\) и четырёх равных прямоугольных треугольников с катетами \(a\) и \(b\). 4. Площадь большого квадрата равна \((a+b)^2\). 5. Площадь внутреннего квадрата равна \(c^2\). 6. Площадь каждого из четырёх прямоугольных треугольников равна \(\frac{1}{2} ab\). 7. Сумма площадей всех частей равна площади большого квадрата: \[ (a+b)^2 = c^2 + 4 \cdot \left(\frac{1}{2} ab\right) \] 8. Раскроем скобки и упростим: \[ a^2 + 2ab + b^2 = c^2 + 2ab \] 9. Вычтем \(2ab\) из обеих частей уравнения: \[ a^2 + b^2 = c^2 \] Теорема доказана. 10. Сформулируйте и докажите теорему, обратную теореме Пифагора. Теорема, обратная теореме Пифагора: Если в треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то этот треугольник является прямоугольным. Дано: Треугольник ABC, у которого \(a^2 + b^2 = c^2\), где \(a, b, c\) – длины сторон. Доказать: Треугольник ABC – прямоугольный, и прямой угол лежит против стороны \(c\). Доказательство: 1. Построим вспомогательный прямоугольный треугольник \(A_1B_1C_1\) с катетами \(a\) и \(b\). 2. По теореме Пифагора для треугольника \(A_1B_1C_1\) квадрат его гипотенузы \(c_1\) равен \(a^2 + b^2\). То есть, \(c_1^2 = a^2 + b^2\). 3. По условию для треугольника ABC имеем \(c^2 = a^2 + b^2\). 4. Сравнивая эти два равенства, получаем \(c^2 = c_1^2\), откуда \(c = c_1\). 5. Таким образом, треугольники ABC и \(A_1B_1C_1\) равны по трём сторонам (SSS): \(a = a\), \(b = b\), \(c = c_1\). 6. Так как треугольник \(A_1B_1C_1\) является прямоугольным по построению, то и треугольник ABC, равный ему, также является прямоугольным. Прямой угол в треугольнике ABC лежит против стороны \(c\). Теорема доказана. 11. Какие треугольники называются пифагоровыми? Приведите примеры пифагоровых треугольников. Пифагоровы треугольники – это прямоугольные треугольники, длины сторон которых выражаются целыми числами. Тройка таких целых чисел \((a, b, c)\) называется пифагоровой тройкой. Примеры пифагоровых треугольников (пифагоровых троек): * (3, 4, 5): \(3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2\). * (5, 12, 13): \(5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2\). * (8, 15, 17): \(8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2\). * (7, 24, 25): \(7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2\). 12. Какая формула площади треугольника называется формулой Герона? Выведите эту формулу. Формула Герона – это формула для вычисления площади треугольника по длинам его трёх сторон. Пусть стороны треугольника равны \(a, b, c\), а полупериметр \(p = \frac{a+b+c}{2}\). Тогда площадь треугольника \(S\) вычисляется по формуле: \[ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \] Вывод формулы Герона (краткий вариант, подходящий для школьника): 1. Известна формула площади треугольника: \(S = \frac{1}{2} ab \sin C\). 2. Из теоремы косинусов: \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C\). Отсюда выразим \(\cos C\): \[ \cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \] 3. Используем основное тригонометрическое тождество \(\sin^2 C + \cos^2 C = 1\), откуда \(\sin C = \sqrt{1 - \cos^2 C}\) (так как угол C в треугольнике всегда \(0 < C < 180^\circ\), то \(\sin C > 0\)). 4. Подставим выражение для \(\cos C\): \[ \sin C = \sqrt{1 - \left(\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\right)^2} \] \[ \sin C = \sqrt{\frac{(2ab)^2 - (a^2 + b^2 - c^2)^2}{(2ab)^2}} \] \[ \sin C = \frac{\sqrt{(2ab - (a^2 + b^2 - c^2))(2ab + (a^2 + b^2 - c^2))}}{2ab} \] \[ \sin C = \frac{\sqrt{(c^2 - (a^2 - 2ab + b^2))((a^2 + 2ab + b^2) - c^2)}}{2ab} \] \[ \sin C = \frac{\sqrt{(c^2 - (a-b)^2)((a+b)^2 - c^2)}}{2ab} \] Применим формулу разности квадратов \(x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)\): \[ \sin C = \frac{\sqrt{(c - (a-b))(c + (a-b))((a+b) - c)((a+b) + c)}}{2ab} \] \[ \sin C = \frac{\sqrt{(c - a + b)(c + a