Задача:
Известно, что в треугольнике \(ABC\) сторона \(AB = 3\), \(AC = 5\). Внутри треугольника \(ABC\) случайным образом выбрали точку. Найдите вероятность того, что эта точка попадёт внутрь треугольника \(ABD\), где \(AD\) — биссектриса треугольника \(ABC\).
Решение:
1. Понимание условия:
Мы имеем треугольник \(ABC\). Внутри него случайным образом выбирается точка. Нам нужно найти вероятность того, что эта точка окажется внутри меньшего треугольника \(ABD\), который образуется биссектрисой \(AD\).
Вероятность в данном случае будет равна отношению площади треугольника \(ABD\) к площади всего треугольника \(ABC\).
\[P = \frac{S_{ABD}}{S_{ABC}}\]2. Свойство биссектрисы:
Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. В нашем случае биссектриса \(AD\) делит сторону \(BC\) на отрезки \(BD\) и \(DC\).
По свойству биссектрисы имеем:
\[\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}\]3. Подставляем известные значения:
Нам дано \(AB = 3\) и \(AC = 5\).
Значит:
\[\frac{BD}{DC} = \frac{3}{5}\]4. Отношение площадей треугольников с общей высотой:
Треугольники \(ABD\) и \(ADC\) имеют общую высоту, опущенную из вершины \(A\) на сторону \(BC\). Обозначим эту высоту как \(h_A\).
Площадь треугольника \(ABD\) равна:
\[S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot h_A\]Площадь треугольника \(ADC\) равна:
\[S_{ADC} = \frac{1}{2} \cdot DC \cdot h_A\]Отношение их площадей будет:
\[\frac{S_{ABD}}{S_{ADC}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot BD \cdot h_A}{\frac{1}{2} \cdot DC \cdot h_A} = \frac{BD}{DC}\]Таким образом, отношение площадей треугольников \(ABD\) и \(ADC\) равно отношению длин отрезков, на которые биссектриса делит сторону \(BC\):
\[\frac{S_{ABD}}{S_{ADC}} = \frac{3}{5}\]5. Выражаем площади через одну переменную:
Пусть \(S_{ABD} = 3x\). Тогда \(S_{ADC} = 5x\).
6. Находим площадь всего треугольника \(ABC\):
Площадь всего треугольника \(ABC\) равна сумме площадей треугольников \(ABD\) и \(ADC\):
\[S_{ABC} = S_{ABD} + S_{ADC}\] \[S_{ABC} = 3x + 5x = 8x\]7. Вычисляем вероятность:
Вероятность того, что случайно выбранная точка попадёт внутрь треугольника \(ABD\), равна отношению площади \(S_{ABD}\) к площади \(S_{ABC}\):
\[P = \frac{S_{ABD}}{S_{ABC}} = \frac{3x}{8x}\]Сокращаем \(x\):
\[P = \frac{3}{8}\]8. Переводим в десятичную дробь (если требуется):
\[P = \frac{3}{8} = 0.375\]Ответ:
Вероятность того, что эта точка попадёт внутрь треугольника \(ABD\), равна \(0.375\).