Решение экзаменационных задач по теории вероятностей

Ниже представлены краткие и точные ответы на экзаменационные вопросы по теории вероятностей, оформленные для удобного переписывания в тетрадь. 1. Невозможное событие обозначается символом пустого множества: \( \varnothing \). Его вероятность равна \( P(\varnothing) = 0 \). 2. Достоверное событие обозначается греческой буквой \( \Omega \) (омега). Его вероятность равна \( P(\Omega) = 1 \). 3. Вероятность любого случайного события \( A \) всегда находится в пределах от 0 до 1 включительно: \[ 0 \le P(A) \le 1 \] 4. Формула сложения вероятностей для двух произвольных событий \( A \) и \( B \): \[ P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) \] где \( P(AB) \) — вероятность их совместного появления. 5. Для двух несовместных событий формула упрощается, так как \( P(AB) = 0 \): \[ P(A + B) = P(A) + P(B) \] 6. Несовместными называются события \( A \) и \( B \), которые не могут произойти одновременно в одном и том же испытании. Их пересечение — пустое множество: \( A \cap B = \varnothing \). 7. Формула Байеса позволяет переоценить вероятности гипотез \( H_i \) после того, как стало известно, что событие \( A \) произошло: \[ P(H_i | A) = \frac{P(H_i) \cdot P(A | H_i)}{P(A)} \] 8. Формула полной вероятности для события \( A \), которое может наступить только при появлении одной из гипотез \( H_1, H_2, ..., H_n \): \[ P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(H_i) \cdot P(A | H_i) \] 9. Сумма вероятностей гипотез, составляющих полную группу несовместных событий, всегда равна единице: \[ \sum_{i=1}^{n} P(H_i) = 1 \] 10. Классическая вероятность вычисляется по формуле: \[ P(A) = \frac{m}{n} \] где \( n \) — общее число равновозможных элементарных исходов, а \( m \) — число исходов, благоприятствующих событию \( A \). 11. Пример полной группы событий: подбрасывание игральной кости. События \( A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, A_6 \) (выпадение соответствующего числа очков) образуют полную группу, так как одно из них обязательно произойдет, и они несовместны. 12. Основные свойства вероятности: 1) Вероятность любого события неотрицательна: \( P(A) \ge 0 \). 2) Вероятность достоверного события равна 1: \( P(\Omega) = 1 \). 3) Вероятность суммы несовместных событий равна сумме их вероятностей. 4) Вероятность противоположного события: \( P(\bar{A}) = 1 - P(A) \). 13. Случайная величина — это величина, которая в результате испытания принимает одно и только одно из своих возможных значений, заранее неизвестное и зависящее от случайных факторов. Математически это функция, заданная на пространстве элементарных исходов.