Решение экзаменационных задач по математике

Ниже представлены краткие и структурированные ответы на вторую часть экзаменационных вопросов, подготовленные для записи в тетрадь. 14. Примером случайной величины является число очков, выпавших при бросании игральной кости, или количество выстрелов до первого попадания в цель. 15. Функцией распределения \( F(x) \) случайной величины \( X \) называется функция, определяющая вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее \( x \): \[ F(x) = P(X < x) \] 16. Основные свойства функции распределения: 1) Значения функции принадлежат отрезку от 0 до 1: \( 0 \le F(x) \le 1 \). 2) \( F(x) \) — неубывающая функция. 3) \( F(-\infty) = 0 \), \( F(+\infty) = 1 \). 4) Вероятность попадания в интервал: \( P(a \le X < b) = F(b) - F(a) \). 17. Дискретной называется случайная величина, которая принимает отдельные, изолированные друг от друга значения (их можно пересчитать). 18. Пример дискретной случайной величины: число детей в семье или количество бракованных деталей в партии товара. 19. Распределением вероятностей дискретной случайной величины называется соответствие между всеми возможными значениями \( x_i \) и их вероятностями \( p_i \). Обычно задается в виде таблицы (ряда распределения). 20. Математическое ожидание \( M(X) \) — это среднее ожидаемое значение случайной величины. Для дискретной величины оно равно сумме произведений всех её значений на их вероятности: \[ M(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i \] 21. Свойства математического ожидания: 1) \( M(C) = C \) (где \( C \) — константа). 2) \( M(CX) = C \cdot M(X) \). 3) \( M(X + Y) = M(X) + M(Y) \). 4) \( M(XY) = M(X) \cdot M(Y) \) (для независимых величин). 22. Дисперсией \( D(X) \) называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания: \[ D(X) = M(X - M(X))^2 \] Она характеризует меру разброса значений вокруг среднего. 23. Свойства дисперсии: 1) \( D(C) = 0 \). 2) \( D(CX) = C^2 \cdot D(X) \). 3) \( D(X \pm Y) = D(X) + D(Y) \) (для независимых величин). 4) \( D(X) \ge 0 \). 24. Распределение Пуассона описывает число событий, произошедших за фиксированное время, если они происходят с некоторой средней интенсивностью \( \lambda \) независимо друг от друга: \[ P(X = k) = \frac{\lambda^k \cdot e^{-\lambda}}{k!} \] 25. Для распределения Пуассона математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру \( \lambda \): \[ M(X) = \lambda, \quad D(X) = \lambda \] 26. Биномиальное распределение — это распределение числа успехов \( k \) в \( n \) независимых испытаниях Бернулли, в каждом из которых успех наступает с вероятностью \( p \): \[ P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k} \] где \( q = 1 - p \).