Решение задач по математике для экзамена

Ниже представлены краткие и точные ответы на заключительную часть экзаменационных вопросов, оформленные для удобного переписывания в тетрадь. 27. Вероятность \( k \) успехов в \( n \) независимых испытаниях вычисляется по формуле Бернулли: \[ P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k} \] где \( p \) — вероятность успеха, \( q = 1 - p \) — вероятность неудачи. 28. Равномерное дискретное распределение — это распределение, при котором случайная величина принимает конечное число значений \( n \), и вероятность каждого из них одинакова: \( p_i = \frac{1}{n} \). 29. Бернуллиевская случайная величина принимает только два значения: 1 («успех») с вероятностью \( p \) и 0 («неудача») с вероятностью \( q = 1 - p \). Пример: бросок монеты (выпадение орла — 1, решки — 0). 30. Плотностью распределения вероятностей \( f(x) \) называется производная от функции распределения: \[ f(x) = F'(x) \] 31. Абсолютно непрерывной называется случайная величина, для которой существует такая неотрицательная функция \( f(x) \) (плотность), что функцию распределения можно представить в виде интеграла: \[ F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt \] 32. Вероятность принадлежности отрезку \( [a, b] \): Через функцию распределения: \( P(a \le X \le b) = F(b) - F(a) \). Через плотность: \( P(a \le X \le b) = \int_{a}^{b} f(x) dx \). 33. Математическое ожидание непрерывной случайной величины: \[ M(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x \cdot f(x) dx \] 34. Основные свойства \( M(X) \) для непрерывных величин такие же, как для дискретных: линейность (\( M(AX+B) = AM(X)+B \)) и аддитивность (\( M(X+Y) = M(X)+M(Y) \)). 35. Дисперсия непрерывной случайной величины: \[ D(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} (x - M(X))^2 \cdot f(x) dx \] Или более удобная формула: \( D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 \). 36. Свойства дисперсии: \( D(C) = 0 \), \( D(CX) = C^2 D(X) \), для независимых величин \( D(X+Y) = D(X) + D(Y) \). 37. Гауссовская (нормальная) плотность распределения: \[ f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-a)^2}{2\sigma^2}} \] где \( a \) — мат. ожидание, \( \sigma \) — среднее квадратическое отклонение. 38. Показательная (экспоненциальная) плотность: \[ f(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x}, & x \ge 0 \\ 0, & x < 0 \end{cases} \] 39. Равномерное распределение на отрезку \( [a, b] \) имеет плотность: \[ f(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a}, & x \in [a, b] \\ 0, & x \notin [a, b] \end{cases} \] 40. Математическое ожидание равномерного распределения: \[ M(X) = \frac{a + b}{2} \] 41. Дисперсия равномерного распределения: \[ D(X) = \frac{(b - a)^2}{12} \]