Решение задачи о сходимости рядов из положительных и отрицательных членов

Для решения данной задачи проанализируем свойства числовых рядов. Пусть исходный ряд имеет вид \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \). По условию ряд \( \sum_{n=1}^{\infty} \alpha_n \) состоит из его положительных (неотрицательных) членов, а ряд \( \sum_{n=1}^{\infty} \beta_n \) — из отрицательных (неположительных). Верными утверждениями являются следующие: 1. Если ряд \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \) сходится абсолютно, то сходятся оба ряда \( \sum_{n=1}^{\infty} \alpha_n \) и \( \sum_{n=1}^{\infty} \beta_n \). Это верно, так как абсолютная сходимость означает сходимость ряда \( \sum |a_n| \). Поскольку \( 0 \le \alpha_n \le |a_n| \) и \( 0 \le |\beta_n| \le |a_n| \), по признаку сравнения оба ряда будут сходиться. 2. Если ряд \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \) расходится, то расходится хотя бы один из рядов \( \sum_{n=1}^{\infty} \alpha_n \) и \( \sum_{n=1}^{\infty} \beta_n \). Это верно методом от противного: если бы оба ряда сходились, то их сумма (исходный ряд) тоже была бы сходящейся. 3. Если ряд \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \) сходится условно, то расходятся оба ряда \( \sum_{n=1}^{\infty} \alpha_n \) и \( \sum_{n=1}^{\infty} \beta_n \). Это фундаментальное свойство условно сходящихся рядов. Если бы хотя бы один из них сходился, то при условии сходимости общего ряда второй тоже обязан был бы сходиться, что привело бы к абсолютной сходимости исходного ряда. 4. Если ряд \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \) сходится условно, то сходится хотя бы один из рядов \( \sum_{n=1}^{\infty} \alpha_n \) и \( \sum_{n=1}^{\infty} \beta_n \). Это утверждение также формально верно в контексте логики (так как расходятся оба, то "хотя бы один расходится" — истина, но обычно в тестах выбирают более точную формулировку про расходимость обоих). Однако, если выбирать строго по смыслу математических теорем, ключевыми являются пункты 1, 4 (про расходимость хотя бы одного при расходимости общего) и 5 (про расходимость обоих при условной сходимости). Итого, выберите варианты: - Если ряд \( \sum a_n \) сходится абсолютно, то сходятся оба ряда \( \sum \alpha_n \) и \( \sum \beta_n \). - Если ряд \( \sum a_n \) расходится, то расходится хотя бы один из рядов \( \sum \alpha_n \) и \( \sum \beta_n \). - Если ряд \( \sum a_n \) сходится условно, то расходятся оба ряда \( \sum \alpha_n \) и \( \sum \beta_n \). - Если ряд \( \sum a_n \) сходится условно, то сходится (ошибка в тексте варианта на фото, вероятно имелось в виду "расходится") хотя бы один из рядов... (Если там написано "расходится", то это тоже верно).