Решение задачи: Минимальное время закрытия задвижки

Для решения этой задачи нам потребуется использовать формулу Жуковского для гидравлического удара. 1. Определим известные величины: * Длина трубопровода \(L = 500\) м * Начальная скорость воды \(v_0 = 2\) м/с * Допустимое повышение давления \(\Delta P_{доп} = 0,5\) МПа \( = 0,5 \cdot 10^6\) Па 2. Определим неизвестную величину: * Минимальное время закрытия задвижки \(t_{мин}\) 3. Вспомним необходимые физические константы для воды: * Плотность воды \(\rho = 1000\) кг/м\(^3\) * Скорость распространения звука в воде (скорость ударной волны) \(a \approx 1400\) м/с (это приближенное значение, которое обычно используется в задачах, если не дано более точное). 4. Формула Жуковского для повышения давления при гидравлическом ударе: \[\Delta P = \rho \cdot a \cdot \Delta v\] где \(\Delta v\) - изменение скорости потока. В нашем случае, при полном закрытии задвижки, изменение скорости равно начальной скорости: \(\Delta v = v_0 = 2\) м/с. 5. Подставим значения в формулу Жуковского, чтобы найти максимальное возможное повышение давления при мгновенном закрытии: \[\Delta P_{мгн} = 1000 \text{ кг/м}^3 \cdot 1400 \text{ м/с} \cdot 2 \text{ м/с} = 2800000 \text{ Па} = 2,8 \text{ МПа}\] Это значение значительно превышает допустимое повышение давления \(0,5\) МПа. Значит, закрытие не должно быть мгновенным. 6. Для того чтобы повышение давления не превышало допустимое значение, время закрытия задвижки \(t\) должно быть больше или равно времени распространения ударной волны туда и обратно по трубопроводу, умноженному на отношение фактического повышения давления к допустимому. Время распространения ударной волны по трубопроводу в одну сторону: \[t_{волны} = \frac{L}{a}\] \[t_{волны} = \frac{500 \text{ м}}{1400 \text{ м/с}} \approx 0,357 \text{ с}\] 7. Если время закрытия задвижки \(t\) меньше \(2 \cdot t_{волны}\) (то есть \(t < \frac{2L}{a}\)), то гидравлический удар считается прямым. В этом случае повышение давления определяется формулой Жуковского. Если время закрытия задвижки \(t\) больше \(2 \cdot t_{волны}\) (то есть \(t \ge \frac{2L}{a}\)), то гидравлический удар считается непрямым (или замедленным). В этом случае повышение давления можно рассчитать по формуле: \[\Delta P = \frac{\rho \cdot L \cdot v_0}{t}\] Нам нужно найти минимальное время \(t_{мин}\), при котором \(\Delta P\) не превысит \(\Delta P_{доп}\). Значит, мы приравниваем \(\Delta P_{доп}\) к формуле для непрямого удара: \[\Delta P_{доп} = \frac{\rho \cdot L \cdot v_0}{t_{мин}}\] 8. Выразим \(t_{мин}\) из этой формулы: \[t_{мин} = \frac{\rho \cdot L \cdot v_0}{\Delta P_{доп}}\] 9. Подставим известные значения: \[t_{мин} = \frac{1000 \text{ кг/м}^3 \cdot 500 \text{ м} \cdot 2 \text{ м/с}}{0,5 \cdot 10^6 \text{ Па}}\] \[t_{мин} = \frac{1000000 \text{ кг} \cdot \text{м}^2/\text{с}}{0,5 \cdot 10^6 \text{ Па}}\] \[t_{мин} = \frac{10^6 \text{ Н} \cdot \text{с}}{0,5 \cdot 10^6 \text{ Н}/\text{м}^2}\] \[t_{мин} = \frac{10^6}{0,5 \cdot 10^6} \text{ с}\] \[t_{мин} = \frac{1}{0,5} \text{ с}\] \[t_{мин} = 2 \text{ с}\] 10. Проверим условие для непрямого удара: \[2 \cdot t_{волны} = 2 \cdot 0,357 \text{ с} \approx 0,714 \text{ с}\] Так как \(t_{мин} = 2 \text{ с} > 0,714 \text{ с}\), то наше предположение о непрямом ударе верно, и использованная формула корректна. Ответ: Минимальное время закрытия задвижки должно составлять 2 секунды.